論文の概要: On efficient algorithms for computing near-best polynomial approximations to high-dimensional, Hilbert-valued functions from limited samples

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2203.13908v1
• Date: Fri, 25 Mar 2022 20:56:07 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-03-29 17:15:11.909986
• Title: On efficient algorithms for computing near-best polynomial approximations to high-dimensional, Hilbert-valued functions from limited samples
• Title（参考訳）: 有限標本から高次元ヒルベルト値関数への近近近多項式近似の効率的な計算アルゴリズムについて
• Authors: Ben Adcock, Simone Brugiapaglia, Nick Dexter, Sebastian Moraga
• Abstract要約: サンプリングにおける指数的ロバスト性と物理的離散化誤差を主張するアルゴリズムと理論的保証を導入する。 我々の研究は、ヒルベルト空間における $ell1$-minimization 問題を含む、既存の技術のいくつかの重要な発展を含んでいる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.383670923637874
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Sparse polynomial approximation has become indispensable for approximating smooth, high- or infinite-dimensional functions from limited samples. This is a key task in computational science and engineering, e.g., surrogate modelling in UQ where the function is the solution map of a parametric or stochastic PDE. Yet, sparse polynomial approximation lacks a complete theory. On the one hand, there is a well-developed theory of best $s$-term polynomial approximation, which asserts exponential or algebraic rates of convergence for holomorphic functions. On the other hand, there are increasingly mature methods such as (weighted) $\ell^1$-minimization for computing such approximations. While the sample complexity of these methods has been analyzed in detail, the matter of whether or not these methods achieve such rates is not well understood. Furthermore, these methods are not algorithms per se, since they involve exact minimizers of nonlinear optimization problems. This paper closes these gaps. Specifically, we pose and answer the following question: are there robust, efficient algorithms for computing approximations to finite- or infinite-dimensional, holomorphic and Hilbert-valued functions from limited samples that achieve best $s$-term rates? We answer this in the affirmative by introducing algorithms and theoretical guarantees that assert exponential or algebraic rates of convergence, along with robustness to sampling, algorithmic, and physical discretization errors. We tackle both scalar- and Hilbert-valued functions, this being particularly relevant to parametric and stochastic PDEs. Our work involves several significant developments of existing techniques, including a novel restarted primal-dual iteration for solving weighted $\ell^1$-minimization problems in Hilbert spaces. Our theory is supplemented by numerical experiments demonstrating the practical efficacy of these algorithms.
• Abstract（参考訳）: スパース多項式近似は、限られたサンプルから滑らかで高次元あるいは無限次元の関数を近似するのに不可欠である。 これは計算科学や工学における重要なタスクであり、例えば、関数がパラメトリックまたは確率的PDEの解写像であるUQにおける代理モデリングである。 しかし、スパース多項式近似は完全な理論を欠いている。 一方で、正則函数に対する指数的あるいは代数的収束率を主張する最良の$s$項多項式近似の理論が発達している。 一方、そのような近似を計算するための(重み付けされた)$\ell^1$-minimizationのような成熟した方法がある。 これらの方法のサンプルの複雑さは詳細に分析されているが、これらの方法がそのような速度を達成するかどうかの問題はよく分かっていない。 さらに、これらの手法は非線形最適化問題の最小化を含むため、それぞれアルゴリズムではない。 この論文はこれらのギャップを閉じる。 有限次元、無限次元、正則、およびヒルベルト値関数に対する近似を計算するためのロバストで効率的なアルゴリズムは、最良の$s$-termレートを達成する限られたサンプルから存在するか? これを肯定的に答え、指数的あるいは代数的収束率を主張するアルゴリズムと理論的保証を導入し、サンプリング、アルゴリズム、物理的離散化誤差に対するロバスト性を導入する。 我々はスカラー関数とヒルベルト値関数の両方に取り組み、これはパラメトリックPDEと確率PDEに特に関係している。 我々の研究は、ヒルベルト空間における重み付き$\ell^1$-minimization問題を解くための新しい原始双対反復を含む、既存の技術のいくつかの重要な発展を含む。 これらのアルゴリズムの実用性を示す数値実験により,本理論を補足する。

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