論文の概要: A Gap in the Subrank of Tensors

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.01668v1
• Date: Sat, 3 Dec 2022 18:38:28 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-01-09 22:47:45.855742
• Title: A Gap in the Subrank of Tensors
• Title（参考訳）: テンソルのサブランクの隙間
• Authors: Matthias Christandl and Fulvio Gesmundo and Jeroen Zuiddam
• Abstract要約: テンソルのサブランクは、テンソルがどれだけ「対角化」できるかの尺度である。 我々は、テンソル積の下で大きなパワーを取るとき、サブランクにギャップがあることを証明した。 また、成長率には第2のギャップがあることも証明しています。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.253292484834396
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The subrank of tensors is a measure of how much a tensor can be ''diagonalized''. This parameter was introduced by Strassen to study fast matrix multiplication algorithms in algebraic complexity theory and is closely related to many central tensor parameters (e.g. slice rank, partition rank, analytic rank, geometric rank, G-stable rank) and problems in combinatorics, computer science and quantum information theory. Strassen (J. Reine Angew. Math., 1988) proved that there is a gap in the subrank when taking large powers under the tensor product: either the subrank of all powers is at most one, or it grows as a power of a constant strictly larger than one. In this paper, we precisely determine this constant for tensors of any order. Additionally, for tensors of order three, we prove that there is a second gap in the possible rates of growth. Our results strengthen the recent work of Costa and Dalai (J. Comb. Theory, Ser. A, 2021), who proved a similar gap for the slice rank. Our theorem on the subrank has wider applications by implying such gaps not only for the slice rank, but for any ``normalized monotone''. In order to prove the main result, we characterize when a tensor has a very structured tensor (the W-tensor) in its orbit closure. Our methods include degenerations in Grassmanians, which may be of independent interest.
• Abstract（参考訳）: テンソルのサブランク(英: subrank of tensor)とは、テンソルがどれだけ「対角化」できるかの尺度である。 このパラメータは、代数的複雑性理論における高速行列乗法アルゴリズムの研究のためにストラッセンによって導入され、多くの中央テンソルパラメータ(スライスランク、パーティションランク、分析ランク、幾何ランク、G安定ランクなど)と、組合せ論、計算機科学、量子情報理論の問題に密接に関係している。 strassen (j. reine angew. math., 1988) は、テンソル積の下で大きなパワーを取るとき、サブランクにギャップがあることを証明した。 本稿では、任意の順序のテンソルに対するこの定数を正確に決定する。 さらに、次数 3 のテンソルに対して、成長の可能な速度に第二のギャップがあることを証明できる。 我々の結果はコスタとダライの最近の業績(J. Comb. Theory, Ser. A, 2021)を強化し、スライス階の類似のギャップを証明した。 この部分ランク上の定理は、スライスランクだけでなく任意の ``normalized monotone''' に対してもそのようなギャップを暗示することでより広い応用が可能となる。 主な結果を証明するために、テンソルが軌道閉包に非常に構造化されたテンソル(wテンソル)を持つときに特徴付ける。 我々の方法には、独立した関心を持つかもしれない草虫類の退化が含まれる。

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