論文の概要: Data-Driven Linear Complexity Low-Rank Approximation of General Kernel
Matrices: A Geometric Approach
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.12674v2
- Date: Wed, 28 Jun 2023 19:03:48 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-06-30 19:26:57.138538
- Title: Data-Driven Linear Complexity Low-Rank Approximation of General Kernel
Matrices: A Geometric Approach
- Title（参考訳）: 一般核行列のデータ駆動線形複雑性低ランク近似:幾何学的アプローチ
- Authors: Difeng Cai, Edmond Chow, Yuanzhe Xi
- Abstract要約: K_ij = kappa(x_i,y_j)$ ここで $kappa(x,y)$ はカーネル関数である。
我々は、点の集合 X$ と $Y$ が大きいカーネル行列に対する低ランク近似を求める。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.9453554184019107
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: A general, {\em rectangular} kernel matrix may be defined as $K_{ij} =
\kappa(x_i,y_j)$ where $\kappa(x,y)$ is a kernel function and where
$X=\{x_i\}_{i=1}^m$ and $Y=\{y_i\}_{i=1}^n$ are two sets of points. In this
paper, we seek a low-rank approximation to a kernel matrix where the sets of
points $X$ and $Y$ are large and are arbitrarily distributed, such as away from
each other, ``intermingled'', identical, etc. Such rectangular kernel matrices
may arise, for example, in Gaussian process regression where $X$ corresponds to
the training data and $Y$ corresponds to the test data. In this case, the
points are often high-dimensional. Since the point sets are large, we must
exploit the fact that the matrix arises from a kernel function, and avoid
forming the matrix, and thus ruling out most algebraic techniques. In
particular, we seek methods that can scale linearly or nearly linear with
respect to the size of data for a fixed approximation rank. The main idea in
this paper is to {\em geometrically} select appropriate subsets of points to
construct a low rank approximation. An analysis in this paper guides how this
selection should be performed.
- Abstract（参考訳）: 一般に、カーネル行列は $k_{ij} = \kappa(x_i,y_j)$ ここで $\kappa(x,y)$ はカーネル関数であり、$x=\{x_i\}_{i=1}^m$ と $y=\{y_i\}_{i=1}^n$ は2つの点の集合である。
本稿では、x$ と $y$ の点の集合が大きすぎて、互いに離れて ``intermingled'' や same など、任意に分布するカーネル行列の低ランク近似を求める。
このような長方形のカーネル行列は、例えばガウスのプロセス回帰において、$X$はトレーニングデータに対応し、$Y$はテストデータに対応する。
この場合、点はしばしば高次元である。
点集合は大きいので、行列が核関数から生じるという事実を活用し、行列の形成を避け、したがってほとんどの代数的手法を除外しなければならない。
特に,固定近似ランクのデータサイズに関して,線形あるいはほぼ線形にスケールできる手法を求める。
この論文の主なアイデアは、低位近似を構成する点の適切な部分集合を幾何学的に選択することである。
本稿では,この選択をいかに行うべきかを考察する。
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