論文の概要: Optimal Convex and Nonconvex Regularizers for a Data Source

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.13597v1
• Date: Tue, 27 Dec 2022 20:11:59 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-12-29 16:14:24.013750
• Title: Optimal Convex and Nonconvex Regularizers for a Data Source
• Title（参考訳）: データソースのための最適凸および非凸正則化器
• Authors: Oscar Leong, Eliza O'Reilly, Yong Sheng Soh and Venkat Chandrasekaran
• Abstract要約: 逆問題に対処するために正規化器で目的を拡大し、統計的推定を行うのが一般的である。 我々は,データ分布が最適な正則化器の同定および凸正則化へのデータソースのアメニビリティ評価の鍵であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.152369404472802
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In optimization-based approaches to inverse problems and to statistical estimation, it is common to augment the objective with a regularizer to address challenges associated with ill-posedness. The choice of a suitable regularizer is typically driven by prior domain information and computational considerations. Convex regularizers are attractive as they are endowed with certificates of optimality as well as the toolkit of convex analysis, but exhibit a computational scaling that makes them ill-suited beyond moderate-sized problem instances. On the other hand, nonconvex regularizers can often be deployed at scale, but do not enjoy the certification properties associated with convex regularizers. In this paper, we seek a systematic understanding of the power and the limitations of convex regularization by investigating the following questions: Given a distribution, what are the optimal regularizers, both convex and nonconvex, for data drawn from the distribution? What properties of a data source govern whether it is amenable to convex regularization? We address these questions for the class of continuous and positively homogenous regularizers for which convex and nonconvex regularizers correspond, respectively, to convex bodies and star bodies. By leveraging dual Brunn-Minkowski theory, we show that a radial function derived from a data distribution is the key quantity for identifying optimal regularizers and for assessing the amenability of a data source to convex regularization. Using tools such as $\Gamma$-convergence, we show that our results are robust in the sense that the optimal regularizers for a sample drawn from a distribution converge to their population counterparts as the sample size grows large. Finally, we give generalization guarantees that recover previous results for polyhedral regularizers (i.e., dictionary learning) and lead to new ones for semidefinite regularizers.
• Abstract（参考訳）: 逆問題や統計的推定に対する最適化に基づくアプローチでは、正規化器を用いて目的を拡大し、不適切な問題に対処することが一般的である。 適切な正規化器の選択は、通常、事前のドメイン情報と計算上の考慮によって行われる。 凸正規化器は最適性の証明と凸解析のツールキットが与えられているため魅力的だが、中程度の問題インスタンスを超えて不適合な計算スケーリングを示す。 一方、非凸正規化器は大規模に展開されることが多いが、凸正規化器に関連する認証特性は享受できない。 本稿では, この分布から得られるデータに対して, 最適正則化器は, 凸と非凸のいずれにおいても, どのようなものであるか, という質問をすることで, 凸正則化のパワーと限界の体系的理解を求める。 データソースのどの特性が凸正則化の可否を規定しているのか? これらの問題は、凸正則化器と非凸正則化器がそれぞれ凸体と星体に対応する連続正則化器のクラスに対処する。 双対ブラン・ミンコフスキー理論を用いることで、データ分布から導かれる放射関数は最適な正規化子を同定し、データソースの凸正規化に対する快適性を評価するための鍵量であることを示した。 我々は,$\gamma$-convergenceのようなツールを用いて,分布から引き出された標本の最適正則化器が,標本サイズが大きくなるにつれて個体群に収束するという意味ではロバストであることを示す。 最後に,多面体正規化器(辞書学習)の先行結果を復元する一般化保証を与え,半定値正規化器に新たな結果を与える。

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