論文の概要: Yuille-Poggio's Flow and Global Minimizer of polynomials through
convexification by Heat Evolution
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2301.00326v1
- Date: Sun, 1 Jan 2023 02:08:32 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-01-03 15:58:17.808293
- Title: Yuille-Poggio's Flow and Global Minimizer of polynomials through
convexification by Heat Evolution
- Title（参考訳）: 熱進化による対流による多項式の流れと大域的最小化
- Authors: Qiao Wang
- Abstract要約: 我々は、大域最小化 $x*$ of $p(x)$ が、その凸化 $p(x)$ の大域最小化から逆発展可能であることを証明している。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.560238391888411
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: In this paper, we investigate the possibility of the
backward-differential-flow-like algorithm which starts from the minimum of
convexification version of the polynomial. We apply the heat evolution
convexification approach through Gaussian filtering, which is actually an
accumulation version of Steklov's regularization. We generalize the fingerprint
theory which was proposed in the theory of computer vision by A.L. Yuille and
T. Poggio in 1980s, in particular their fingerprint trajectory equation, to
characterize the evolution of minimizers across the scale. On the other hand,
we propose the "seesaw" polynomials $p(x|s)$ and we find a seesaw differential
equation $\frac{\partial p(x|s)}{\,ds}=-\frac{1}{p''(x)}$ to characterize the
evolution of global minimizer $x^*(s)$ of $p(x|s)$ while varying $s$.
Essentially, both the fingerprints $\mathcal{FP}_2$ and $\mathcal{FP}_3$ of
$p(x)$, consisting of the zeros of $\frac{\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}$ and
$\frac{\partial^3 p(x,t)}{\partial x^3}$, respectively, are independent of
seesaw coefficient $s$, upon which we define the Confinement Zone and Escape
Zone. Meanwhile, varying $s$ will monotonically condition the location of
global minimizer of $p(x|s)$, and all these location form the Attainable Zone.
Based on these concepts, we prove that the global minimizer $x^*$ of $p(x)$ can
be inversely evolved from the global minimizer of its convexification
polynomial $p(x,t_0)$ if and only if $x^*$ is included in the Escape Zone. In
particular, we give detailed analysis for quartic and six degree polynomials.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,多項式の凸化最小バージョンから開始する逆微分フロー様アルゴリズムの可能性について検討する。
我々は、実際にステクロフの正則化の累積版であるガウスフィルターを用いて熱進化凸化手法を適用する。
我々は1980年代にA.L. Yuille と T. Poggio によってコンピュータビジョン理論において提案された指紋理論、特にその指紋軌跡方程式を一般化し、スケールをまたいだ最小値の進化を特徴づける。
一方、seesaw 多項式 $p(x|s)$ を提案し、seesaw 微分方程式 $\frac{\partial p(x|s)}{\,ds}=-\frac{1}{p''(x)}$ を見つけ、大域最小化 $x^*(s)$ of $p(x|s)$ を特徴付ける。
基本的に、指紋 $\mathcal{FP}_2$ と $\mathcal{FP}_3$ of $p(x)$ は、それぞれ$\frac{\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}$ と $\frac{\partial^3 p(x,t)}{\partial x^3}$ の零点から成り立つ。
一方、様々な$s$は、大域最小化器の位置を$p(x|s)$で単調に条件付け、これらすべての位置はアセナブルゾーンを形成する。
これらの概念に基づいて、大域的最小化子 $x^*$ of $p(x)$ が、その凸化多項式 $p(x,t_0)$ の大域的最小化子から逆進化できることを証明する。
特に、クォート多項式と6次多項式について詳細な解析を行う。
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