論文の概要: Hellinger-Kantorovich Gradient Flows: Global Exponential Decay of Entropy Functionals
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2501.17049v1
- Date: Tue, 28 Jan 2025 16:17:09 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-01-29 16:42:11.861122
- Title: Hellinger-Kantorovich Gradient Flows: Global Exponential Decay of Entropy Functionals
- Title（参考訳）: Hellinger-Kantorovich勾配流:エントロピー関数の大域指数減衰
- Authors: Alexander Mielke, Jia-Jie Zhu,
- Abstract要約: 本稿では,Heringer-Kantorovich(HK)幾何に着目し,正測度と確率測度の勾配流の族について検討する。
中心的な寄与は、オットー・ワッサーシュタインおよびヘルリンガー型勾配流の下でのエントロピー汎函数の大域的指数減衰挙動の完全な特徴づけである。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 52.154685604660465
- License:
- Abstract: We investigate a family of gradient flows of positive and probability measures, focusing on the Hellinger-Kantorovich (HK) geometry, which unifies transport mechanism of Otto-Wasserstein, and the birth-death mechanism of Hellinger (or Fisher-Rao). A central contribution is a complete characterization of global exponential decay behaviors of entropy functionals (e.g. KL, $\chi^2$) under Otto-Wasserstein and Hellinger-type gradient flows. In particular, for the more challenging analysis of HK gradient flows on positive measures -- where the typical log-Sobolev arguments fail -- we develop a specialized shape-mass decomposition that enables new analysis results. Our approach also leverages the (Polyak-)\L{}ojasiewicz-type functional inequalities and a careful extension of classical dissipation estimates. These findings provide a unified and complete theoretical framework for gradient flows and underpin applications in computational algorithms for statistical inference, optimization, and machine learning.
- Abstract（参考訳）: 我々は,オットー・ワッサーシュタインの輸送機構を統一するヘリンジャー・カントロビッチ(HK)幾何と,ヘリンジャー(もしくはフィッシャー・ラオ)の生死機構に着目し,正および確率測度の勾配流の族について検討する。
中心的な寄与は、エントロピー汎函数(例えば KL, $\chi^2$)のオットー・ヴァッサーシュタインとヘルリンガー型勾配流の下での大域的指数減衰挙動の完全な特徴づけである。
特に、一般的な対数ソボレフの議論が失敗する正の測度に基づくHK勾配のより困難な解析のために、我々は新しい分析結果を可能にする特別な形状と質量の分解を開発する。
我々のアプローチは (Polyak-)\L{}ojasiewicz 型の機能的不等式と古典的な散逸推定の注意深い拡張も活用する。
これらの知見は、統計的推論、最適化、機械学習のための計算アルゴリズムにおける勾配流と基盤となる、統一的で完全な理論的枠組みを提供する。
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