論文の概要: Koopman Operator Learning: Sharp Spectral Rates and Spurious Eigenvalues

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2302.02004v1
• Date: Fri, 3 Feb 2023 21:19:56 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-02-07 20:51:42.047714
• Title: Koopman Operator Learning: Sharp Spectral Rates and Spurious Eigenvalues
• Title（参考訳）: クープマン演算子学習:シャープスペクトル速度と純粋固有値
• Authors: Vladimir Kostic, Karim Lounici, Pietro Novelli, Massimiliano Pontil
• Abstract要約: 2つのアルゴリズムにより推定されるクープマン固有値と固有関数に対する漸近学習境界を示す。 時間反転不変なマルコフ連鎖に注目し、クープマン作用素が自己共役であることを示唆する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 26.851436041478866
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Non-linear dynamical systems can be handily described by the associated Koopman operator, whose action evolves every observable of the system forward in time. Learning the Koopman operator from data is enabled by a number of algorithms. In this work we present nonasymptotic learning bounds for the Koopman eigenvalues and eigenfunctions estimated by two popular algorithms: Extended Dynamic Mode Decomposition (EDMD) and Reduced Rank Regression (RRR). We focus on time-reversal-invariant Markov chains, implying that the Koopman operator is self-adjoint. This includes important examples of stochastic dynamical systems, notably Langevin dynamics. Our spectral learning bounds are driven by the simultaneous control of the operator norm risk of the estimators and a metric distortion associated to the corresponding eigenfunctions. Our analysis indicates that both algorithms have similar variance, but EDMD suffers from a larger bias which might be detrimental to its learning rate. We further argue that a large metric distortion may lead to spurious eigenvalues, a phenomenon which has been empirically observed, and note that metric distortion can be estimated from data. Numerical experiments complement the theoretical findings.
• Abstract（参考訳）: 非線形力学系は、関連するクープマン作用素(英語版)(koopman operator)によって手軽に記述され、その作用はシステムの全ての可観測性が経時的に進化する。 データからKoopman演算子を学ぶことは、多くのアルゴリズムによって実現されている。 本研究では,拡張動的モード分解 (edmd) と還元ランク回帰 (rrr) の2つのアルゴリズムにより推定されるkoopman固有値と固有関数の非漸近的学習境界を提案する。 我々は時間反転不変マルコフ連鎖に焦点を当て、クープマン作用素が自己共役であることを示唆する。 これには確率力学系の重要な例、特にランゲヴィン力学が含まれる。 我々のスペクトル学習境界は、推定器のオペレータノルムリスクと対応する固有関数に関連する計量歪みの同時制御によって駆動される。 分析の結果,両アルゴリズムの差は似ているが,EDMDは学習速度に有害な大きなバイアスに悩まされている。 さらに、大きな計量歪みは、経験的に観測された現象である突発的な固有値をもたらす可能性があり、計量歪みはデータから推定できることに留意する。 数値実験は理論的な結果を補完する。

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