論文の概要: Operator learning with PCA-Net: upper and lower complexity bounds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2303.16317v1
• Date: Tue, 28 Mar 2023 21:27:36 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-03-30 16:41:54.927909
• Title: Operator learning with PCA-Net: upper and lower complexity bounds
• Title（参考訳）: PCA-Netによる演算子学習--上と下の境界
• Authors: Samuel Lanthaler
• Abstract要約: PCA-Netは、主成分分析とニューラルネットワークを組み合わせて、基礎となる演算子を近似するニューラルネットワークアーキテクチャである。 本稿では,本手法の近似理論を考案し,従来の手法を改良し,その方向に大幅に拡張する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Neural operators are gaining attention in computational science and engineering. PCA-Net is a recently proposed neural operator architecture which combines principal component analysis (PCA) with neural networks to approximate an underlying operator. The present work develops approximation theory for this approach, improving and significantly extending previous work in this direction. In terms of qualitative bounds, this paper derives a novel universal approximation result, under minimal assumptions on the underlying operator and the data-generating distribution. In terms of quantitative bounds, two potential obstacles to efficient operator learning with PCA-Net are identified, and made rigorous through the derivation of lower complexity bounds; the first relates to the complexity of the output distribution, measured by a slow decay of the PCA eigenvalues. The other obstacle relates the inherent complexity of the space of operators between infinite-dimensional input and output spaces, resulting in a rigorous and quantifiable statement of the curse of dimensionality. In addition to these lower bounds, upper complexity bounds are derived; first, a suitable smoothness criterion is shown to ensure a algebraic decay of the PCA eigenvalues. Then, it is shown that PCA-Net can overcome the general curse of dimensionality for specific operators of interest, arising from the Darcy flow and Navier-Stokes equations.
• Abstract（参考訳）: ニューラル演算子は計算科学と工学で注目を集めている。 pca-netは、主成分分析(pca)とニューラルネットワークを組み合わせた最近提案されたニューラルネットワークアーキテクチャである。 本研究は,このアプローチの近似理論を展開し,従来の研究を改良し,その方向に大きく拡張する。 定性的境界に関して、本論文は、基礎となる演算子とデータ生成分布に関する最小の仮定の下で、新しい普遍近似結果を導出する。 定量的境界に関して、PCA-Netを用いた効率的な演算子学習のための2つの潜在的障害を特定し、より低い複雑性境界の導出により厳密にし、第1に、PCA固有値の緩やかな減衰によって測定された出力分布の複雑さに関連する。 もう1つの障害は、無限次元の入力空間と出力空間の間の作用素空間の固有の複雑さに関係し、その結果、厳密で定量化可能な次元の呪いのステートメントをもたらす。 これらの下界に加えて、上述の複雑性境界が導出され、第一に、pca固有値の代数的減衰を保証する適切な滑らかさ基準が示される。 そこで,PCA-Netは,ダーシー流とナビエ・ストークス方程式から生じる,特定の操作者に対する次元性の一般的な呪いを克服できることを示した。

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