論文の概要: Generative Modelling of L\'{e}vy Area for High Order SDE Simulation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2308.02452v1
- Date: Fri, 4 Aug 2023 16:38:37 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-08-07 12:13:25.063411
- Title: Generative Modelling of L\'{e}vy Area for High Order SDE Simulation
- Title（参考訳）: 高次SDEシミュレーションのためのL\'{e}vy領域の生成モデリング
- Authors: Andra\v{z} Jelin\v{c}i\v{c}, Jiajie Tao, William F. Turner, Thomas
Cass, James Foster, Hao Ni
- Abstract要約: L'evyGANはブラウン増分に基づくL'evy領域の近似サンプルを生成するディープラーニングモデルである。
L'evyGANは関節分布と辺縁分布の両方を測定するいくつかの指標で最先端のパフォーマンスを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.9535699822923
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: It is well known that, when numerically simulating solutions to SDEs,
achieving a strong convergence rate better than O(\sqrt{h}) (where h is the
step size) requires the use of certain iterated integrals of Brownian motion,
commonly referred to as its "L\'{e}vy areas". However, these stochastic
integrals are difficult to simulate due to their non-Gaussian nature and for a
d-dimensional Brownian motion with d > 2, no fast almost-exact sampling
algorithm is known.
In this paper, we propose L\'{e}vyGAN, a deep-learning-based model for
generating approximate samples of L\'{e}vy area conditional on a Brownian
increment. Due to our "Bridge-flipping" operation, the output samples match all
joint and conditional odd moments exactly. Our generator employs a tailored
GNN-inspired architecture, which enforces the correct dependency structure
between the output distribution and the conditioning variable. Furthermore, we
incorporate a mathematically principled characteristic-function based
discriminator. Lastly, we introduce a novel training mechanism termed
"Chen-training", which circumvents the need for expensive-to-generate training
data-sets. This new training procedure is underpinned by our two main
theoretical results.
For 4-dimensional Brownian motion, we show that L\'{e}vyGAN exhibits
state-of-the-art performance across several metrics which measure both the
joint and marginal distributions. We conclude with a numerical experiment on
the log-Heston model, a popular SDE in mathematical finance, demonstrating that
high-quality synthetic L\'{e}vy area can lead to high order weak convergence
and variance reduction when using multilevel Monte Carlo (MLMC).
- Abstract（参考訳）: SDE の解を数値的にシミュレートする場合、O(\sqrt{h}) よりも強い収束率(h はステップサイズ)を達成するには、ブラウン運動のある種の反復積分(一般に「L\'{e}vy area」と呼ばれる)を使う必要があることはよく知られている。
しかし、これらの確率積分はその非ガウス的な性質と、d > 2 の d-次元ブラウン運動のためにシミュレートすることは困難であり、高速な近似サンプリングアルゴリズムは知られていない。
本稿では,ブラウン増分に基づくL\'{e}vy領域の近似サンプルを生成するディープラーニングモデルであるL\'{e}vyGANを提案する。
ブリッジフリッピング」操作のため、出力サンプルは全てのジョイントと条件付き奇数モーメントに正確に一致する。
我々のジェネレータはGNNにインスパイアされたアーキテクチャを採用しており、出力分布と条件変数の間の正しい依存関係構造を強制する。
さらに, 数学的に原理化された特徴関数に基づく判別器を組み込んだ。
最後に,「チェントレーディング」と呼ばれる新たなトレーニング機構を導入することで,コストのかかるトレーニングデータセットの必要性を回避できる。
この新しい訓練手順は、我々の2つの主要な理論結果に基づいている。
4次元ブラウン運動の場合、L\'{e}vyGANは関節分布と辺縁分布の両方を測定する複数の測定値の最先端性能を示す。
我々は,多レベルモンテカルロ (mlmc) を用いた場合, 高品質合成l\'{e}vy領域が高次弱収束と分散還元をもたらすことを実証し, 数理ファイナンスにおける一般的なsdeであるlog-hestonモデルに関する数値実験を行った。
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