論文の概要: Trace Monomial Boolean Functions with Large High-Order Nonlinearities

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2309.11229v1
• Date: Wed, 20 Sep 2023 11:40:19 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-03-19 04:10:47.819627
• Title: Trace Monomial Boolean Functions with Large High-Order Nonlinearities
• Title（参考訳）: 高次非線形性を有するトレース単項ブール関数
• Authors: Jinjie Gao, Haibin Kan, Yuan Li, Jiahua Xu, Qichun Wang,
• Abstract要約: トレース単項ブール関数の2階・3階・高階非線形性に対する下界を証明する。 すべてのトレースモノミアルのうち、我々の境界は citeCar08 と citeYT20 の2階非線形性の下限と一致している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 18.103637463837305
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Exhibiting an explicit Boolean function with a large high-order nonlinearity is an important problem in cryptography, coding theory, and computational complexity. We prove lower bounds on the second-order, third-order, and higher-order nonlinearities of some trace monomial Boolean functions. We prove lower bounds on the second-order nonlinearities of functions $\mathrm{tr}_n(x^7)$ and $\mathrm{tr}_n(x^{2^r+3})$ where $n=2r$. Among all trace monomials, our bounds match the best second-order nonlinearity lower bounds by \cite{Car08} and \cite{YT20} for odd and even $n$ respectively. We prove a lower bound on the third-order nonlinearity for functions $\mathrm{tr}_n(x^{15})$, which is the best third-order nonlinearity lower bound. For any $r$, we prove that the $r$-th order nonlinearity of $\mathrm{tr}_n(x^{2^{r+1}-1})$ is at least $2^{n-1}-2^{(1-2^{-r})n+\frac{r}{2^{r-1}}-1}- O(2^{\frac{n}{2}})$. For $r \ll \log_2 n$, this is the best lower bound among all explicit functions.
• Abstract（参考訳）: 明らかにブール関数を高次非線形性で表すことは、暗号、符号化理論、計算複雑性において重要な問題である。 トレース単項ブール関数の2階・3階・高階非線形性に対する下界を証明する。 函数の2階非線形性に対する下界を$\mathrm{tr}_n(x^7)$と$\mathrm{tr}_n(x^{2^r+3})$で証明する。 すべてのトレース単項式の中で、我々の境界は、それぞれ奇数と偶数に対して \cite{Car08} と \cite{YT20} によって最高の二階非線形性の下界と一致する。 我々は、函数 $\mathrm{tr}_n(x^{15})$ の3階非線形性に対する下界を証明する。 任意の$r$に対して、$\mathrm{tr}_n(x^{2^{r+1}-1})$の$r$-次非線形性が少なくとも2^{n-1}-2^{(1-2^{-r})n+\frac{r}{2^{r-1}}-1}-O(2^{\frac{n}{2}})$であることを証明する。 $r \ll \log_2 n$ の場合、これはすべての明示関数の中で最高の下界である。

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