論文の概要: The Tensor as an Informational Resource

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.02190v1
• Date: Fri, 3 Nov 2023 18:47:39 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-11-07 18:55:45.556486
• Title: The Tensor as an Informational Resource
• Title（参考訳）: 情報資源としてのテンソル
• Authors: Matthias Christandl
• Abstract要約: テンソル(英: tensor)は、データの保存、計算関係のエンコード、量子絡み合いの表現に使用できる数列である。 テンソル上の情報理論的に構築された事前順序の族を提案し、テンソルを互いに比較し、それらの間の変換の存在を評価する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.5410557873153832
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: A tensor is a multidimensional array of numbers that can be used to store data, encode a computational relation and represent quantum entanglement. In this sense a tensor can be viewed as valuable resource whose transformation can lead to an understanding of structure in data, computational complexity and quantum information. In order to facilitate the understanding of this resource, we propose a family of information-theoretically constructed preorders on tensors, which can be used to compare tensors with each other and to assess the existence of transformations between them. The construction places copies of a given tensor at the edges of a hypergraph and allows transformations at the vertices. A preorder is then induced by the transformations possible in a given growing sequence of hypergraphs. The new family of preorders generalises the asymptotic restriction preorder which Strassen defined in order to study the computational complexity of matrix multiplication. We derive general properties of the preorders and their associated asymptotic notions of tensor rank and view recent results on tensor rank non-additivity, tensor networks and algebraic complexity in this unifying frame. We hope that this work will provide a useful vantage point for exploring tensors in applied mathematics, physics and computer science, but also from a purely mathematical point of view.
• Abstract（参考訳）: テンソル(tensor)は、データを格納し、計算関係をエンコードし、量子の絡み合いを表す多次元数の配列である。 この意味でテンソルは、変換によってデータ、計算複雑性、量子情報の構造の理解につながる貴重な資源と見なすことができる。 このリソースの理解を容易にするために,テンソル上の情報理論的に構築された事前順序の族を提案し,テンソル同士を比較し,それらの間の変換の存在を評価する。 この構成は、与えられたテンソルのコピーをハイパーグラフの端に置き、頂点での変換を可能にする。 事前順序は、与えられた成長するハイパーグラフ列で可能な変換によって誘導される。 新しい事前順序の族は、行列乗算の計算複雑性を研究するためにストラッセンが定義した漸近的制限事前順序を一般化する。 我々は、プレオーダーとそのテンソル階数に関する漸近的概念の一般的性質を導き、この統一フレームにおけるテンソル階数非付加性、テンソルネットワークおよび代数的複雑性に関する最近の結果を見る。 この研究は、応用数学、物理学、計算機科学におけるテンソルの探索に有用であり、純粋に数学的な観点からも役立つことを願っている。

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