論文の概要: Multidimensional Electrical Networks and their Application to Exponential Speedups for Graph Problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.07372v2
• Date: Fri, 04 Oct 2024 16:33:40 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-07 15:06:33.327469
• Title: Multidimensional Electrical Networks and their Application to Exponential Speedups for Graph Problems
• Title（参考訳）: 多次元電気ネットワークとそのグラフ問題に対する指数速度アップへの応用
• Authors: Jianqiang Li, Sebastian Zur,
• Abstract要約: 我々は、Kirchhoffの代替法則とOhmの代替法則を、新しい多次元量子ウォークフレームワークに基づいて定義することにより、多次元電気ネットワークを開発する。 この枠組みは多次元量子ウォークアルゴリズムを用いて得られた電気の流れをサンプリングすることを可能にする。 この接続を確立することで、多次元電気ネットワークは量子ウォークを超えてより多くの応用が期待できる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.452997212927429
• License:
• Abstract: Recently, Apers and Piddock [TQC '23] strengthened the natural connection between quantum walks and electrical networks by considering Kirchhoff's Law and Ohm's Law. In this work, we develop the multidimensional electrical network by defining Kirchhoff's Alternative Law and Ohm's Alternative Law based on the novel multidimensional quantum walk framework by Jeffery and Zur [STOC '23]. This multidimensional electrical network allows us to sample from the electrical flow obtained via a multidimensional quantum walk algorithm and achieve exponential quantum-classical separations for certain graph problems. We first use this framework to find a marked vertex in one-dimensional random hierarchical graphs as defined by Balasubramanian, Li, and Harrow [arXiv '23]. In this work, they generalised the well known exponential quantum-classical separation of the welded tree problem by Childs, Cleve, Deotto, Farhi, Gutmann, and Spielman [STOC '03] to random hierarchical graphs. Our result partially recovers their results with an arguably simpler analysis. Furthermore, by constructing a $3$-regular graph based on welded trees, this framework also allows us to show an exponential speedup for the pathfinding problem. This solves one of the open problems by Li [arXiv '23], where they construct a non-regular graph and use the degree information to achieve a similar speedup. In analogy to the connection between the (edge-vertex) incidence matrix of a graph and Kirchhoff's Law and Ohm's Law in an electrical network, we also rebuild the connection between the alternative incidence matrix and Kirchhoff's Alternative Law and Ohm's Alternative Law. By establishing this connection, we expect that the multidimensional electrical network could have more applications beyond quantum walks.
• Abstract（参考訳）: 近年、Apers と Piddock [TQC '23] はKirchhoff の法則とOhm の法則を考慮し、量子ウォークと電気ネットワークの自然接続を強化した。 本稿では,Jeffery と Zur [STOC '23] による新しい多次元量子ウォークフレームワークに基づいて,Kirchhoff の代替法則とOhm の代替法則を定義することにより,多次元電気ネットワークを開発する。 この多次元電気ネットワークは、多次元量子ウォークアルゴリズムを用いて得られた電気の流れをサンプリングし、特定のグラフ問題に対する指数的な量子-古典的分離を実現する。 まずこの枠組みを用いて、バラシュラマン、Li、Harrow [arXiv '23] によって定義される一次元ランダム階層グラフのマーク頂点を求める。 この研究において、彼らはチャイルドズ、クリーヴ、デオット、ファリー、グットマン、スピルマン [STOC '03] による溶接木問題の指数関数的量子古典的分離をランダム階層グラフに一般化した。 この結果は, より単純な解析によって部分的に回復する。 さらに, 溶接木をベースとした3ドル規則グラフを構築することにより, パスフィンディング問題に対する指数的な高速化を示すことが可能となる。 これはLi [arXiv '23] による開問題の1つを解決し、非正則グラフを構築し、次数情報を用いて同様のスピードアップを達成する。 グラフの(エッジ頂点)帰属行列と電気ネットワークにおけるキルヒホフの法則とオームの法則の接続に類似して、代替帰属行列とキルヒホフの代替法則とオームの代替法則との接続を再構築する。 この接続を確立することで、多次元電気ネットワークは量子ウォークを超えてより多くの応用が期待できる。

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