論文の概要: A quasi-polynomial time algorithm for Multi-Dimensional Scaling via LP hierarchies
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.17840v2
- Date: Thu, 11 Apr 2024 04:23:42 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-04-12 18:57:05.756319
- Title: A quasi-polynomial time algorithm for Multi-Dimensional Scaling via LP hierarchies
- Title(参考訳): LP階層による多次元スケーリングのための準多項式時間アルゴリズム
- Authors: Ainesh Bakshi, Vincent Cohen-Addad, Samuel B. Hopkins, Rajesh Jayaram, Silvio Lattanzi,
- Abstract要約: 多次元スケーリング(MDS)は、低次元ユークリッド空間に$n$ポイントの計量を埋め込む方法のファミリーである。
準多項式依存のMDSに対する最初の近似アルゴリズムは$Delta$である。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 34.7582575446942
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Multi-dimensional Scaling (MDS) is a family of methods for embedding an $n$-point metric into low-dimensional Euclidean space. We study the Kamada-Kawai formulation of MDS: given a set of non-negative dissimilarities $\{d_{i,j}\}_{i , j \in [n]}$ over $n$ points, the goal is to find an embedding $\{x_1,\dots,x_n\} \in \mathbb{R}^k$ that minimizes \[\text{OPT} = \min_{x} \mathbb{E}_{i,j \in [n]} \left[ \left(1-\frac{\|x_i - x_j\|}{d_{i,j}}\right)^2 \right] \] Kamada-Kawai provides a more relaxed measure of the quality of a low-dimensional metric embedding than the traditional bi-Lipschitz-ness measure studied in theoretical computer science; this is advantageous because strong hardness-of-approximation results are known for the latter, Kamada-Kawai admits nontrivial approximation algorithms. Despite its popularity, our theoretical understanding of MDS is limited. Recently, Demaine, Hesterberg, Koehler, Lynch, and Urschel (arXiv:2109.11505) gave the first approximation algorithm with provable guarantees for Kamada-Kawai in the constant-$k$ regime, with cost $\text{OPT} +\epsilon$ in $n^2 2^{\text{poly}(\Delta/\epsilon)}$ time, where $\Delta$ is the aspect ratio of the input. In this work, we give the first approximation algorithm for MDS with quasi-polynomial dependency on $\Delta$: we achieve a solution with cost $\tilde{O}(\log \Delta)\text{OPT}^{\Omega(1)}+\epsilon$ in time $n^{O(1)}2^{\text{poly}(\log(\Delta)/\epsilon)}$. Our approach is based on a novel analysis of a conditioning-based rounding scheme for the Sherali-Adams LP Hierarchy. Crucially, our analysis exploits the geometry of low-dimensional Euclidean space, allowing us to avoid an exponential dependence on the aspect ratio. We believe our geometry-aware treatment of the Sherali-Adams Hierarchy is an important step towards developing general-purpose techniques for efficient metric optimization algorithms.
- Abstract(参考訳): 多次元スケーリング(MDS)は、低次元ユークリッド空間に$n$ポイントの計量を埋め込む方法のファミリーである。
非負の相似性の集合 $\{d_{i,j}\}_{i , j \in [n]}$ over $n$ points, the goal to find a embeddedding $\{x_1,\dots,x_n\} \in \mathbb{R}^k$ that minimals \[\text{OPT} = \min_{x} \mathbb{E}_{i,j \in [n]} \left[\left(1-\frac{\|x_i - x_j\|}{d_{i,j}}\right)^2 \right] \] Kamada-Kawai is a relaxed a quality of a virtual-dimensional is using the bipsrops, x_n\} \in \mathbb{R}^k$ that minimizes \[\text{OPT} = \min_{x} \mathbb{E}_{i,j\in [n]} \left(1-\frac{\|x_i -x\||d_{i,j}}\right)^2\right)^2 \right] Kamada-Kawai} は、従来の計算量より低次元の近似の質を緩和する。
その人気にもかかわらず、MDSの理論的理解は限られている。
最近、Demaine, Hesterberg, Koehler, Lynch, Urschel (arXiv:2109.11505) は、Kamada-Kawai の定数-$k$の保証が証明可能な最初の近似アルゴリズムを、コスト$\text{OPT} +\epsilon$ in $n^2 2^{\text{poly}(\Delta/\epsilon)} の時間で提供した。
本研究は、$\Delta$に準多項式依存性を持つMDSに対する最初の近似アルゴリズムを与える: コスト$\tilde{O}(\log \Delta)\text{OPT}^{\Omega(1)}+\epsilon$ in time $n^{O(1)}2^{\text{poly}(\log(\Delta)/\epsilon)}$.
提案手法は,シェラリ・アダムスLP階層に対する条件付きラウンドリングスキームの新たな解析に基づく。
重要なことに、我々の分析は低次元ユークリッド空間の幾何学を利用して、アスペクト比への指数的依存を避けることができる。
シェラリ・アダムス階層の幾何学的扱いは、効率的な計量最適化アルゴリズムのための汎用技術を開発するための重要なステップであると考えている。
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