論文の概要: Convergence Analysis of Fractional Gradient Descent

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.18426v5
• Date: Tue, 4 Jun 2024 05:40:40 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-06-06 13:57:08.458259
• Title: Convergence Analysis of Fractional Gradient Descent
• Title（参考訳）: フラクショナルグラディエントDescenceの収束解析
• Authors: Ashwani Aggarwal,
• Abstract要約: 最適化のためには、分数微分を用いて性質の収束を理解することが重要である。 本稿では,分数勾配降下のポテンシャルを解析する。 実験結果が提示されます
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Fractional derivatives are a well-studied generalization of integer order derivatives. Naturally, for optimization, it is of interest to understand the convergence properties of gradient descent using fractional derivatives. Convergence analysis of fractional gradient descent is currently limited both in the methods analyzed and the settings analyzed. This paper aims to fill in these gaps by analyzing variations of fractional gradient descent in smooth and convex, smooth and strongly convex, and smooth and non-convex settings. First, novel bounds will be established bridging fractional and integer derivatives. Then, these bounds will be applied to the aforementioned settings to prove linear convergence for smooth and strongly convex functions and $O(1/T)$ convergence for smooth and convex functions. Additionally, we prove $O(1/T)$ convergence for smooth and non-convex functions using an extended notion of smoothness - H\"older smoothness - that is more natural for fractional derivatives. Finally, empirical results will be presented on the potential speed up of fractional gradient descent over standard gradient descent as well as some preliminary theoretical results explaining this speed up.
• Abstract（参考訳）: 分数微分(英: Fractional derivatives)は、整数階微分のよく研究された一般化である。 自然に最適化するためには、分数微分を用いて勾配降下の収束特性を理解することが重要である。 現在,分数勾配降下の収束解析は,解析手法と解析手法の両方において限定されている。 本研究の目的は, 滑らかな凸面, 滑らかで強い凸面, 滑らかで非凸面の設定における分数勾配勾配の変動を解析することによって, これらのギャップを埋めることである。 まず、新しい境界は分数微分と整数微分をブリッジする。 すると、上記の設定にこれらの境界を適用して、滑らかで強い凸函数に対する線型収束を証明し、滑らかで凸関数に対する$O(1/T)$収束を証明できる。 さらに、滑らかで非凸な函数に対する$O(1/T)$収束を、分数微分に対してより自然な滑らかさ(H\\older smoothness)という拡張された概念を用いて証明する。 最後に、標準勾配降下に対する分数勾配降下のポテンシャル速度アップと、この速度アップを説明する予備的な理論的結果について実験結果が提示される。

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