論文の概要: Sampling and estimation on manifolds using the Langevin diffusion
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2312.14882v1
- Date: Fri, 22 Dec 2023 18:01:11 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-12-25 14:06:31.383269
- Title: Sampling and estimation on manifolds using the Langevin diffusion
- Title（参考訳）: ランジュバン拡散を用いた多様体上のサンプリングと推定
- Authors: Karthik Bharath, Alexander Lewis, Akash Sharma, Michael V Tretyakov
- Abstract要約: 離散化マルコフ過程に基づく$mu_phi $の線形汎函数の2つの推定器を検討する。
誤差境界は、本質的に定義されたランゲヴィン拡散の離散化を用いてサンプリングと推定のために導出される。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 48.898189211250234
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Error bounds are derived for sampling and estimation using a discretization
of an intrinsically defined Langevin diffusion with invariant measure
$d\mu_\phi \propto e^{-\phi} \mathrm{dvol}_g $ on a compact Riemannian
manifold. Two estimators of linear functionals of $\mu_\phi $ based on the
discretized Markov process are considered: a time-averaging estimator based on
a single trajectory and an ensemble-averaging estimator based on multiple
independent trajectories. Imposing no restrictions beyond a nominal level of
smoothness on $\phi$, first-order error bounds, in discretization step size, on
the bias and variances of both estimators are derived. The order of error
matches the optimal rate in Euclidean and flat spaces, and leads to a
first-order bound on distance between the invariant measure $\mu_\phi$ and a
stationary measure of the discretized Markov process. Generality of the proof
techniques, which exploit links between two partial differential equations and
the semigroup of operators corresponding to the Langevin diffusion, renders
them amenable for the study of a more general class of sampling algorithms
related to the Langevin diffusion. Conditions for extending analysis to the
case of non-compact manifolds are discussed. Numerical illustrations with
distributions, log-concave and otherwise, on the manifolds of positive and
negative curvature elucidate on the derived bounds and demonstrate practical
utility of the sampling algorithm.
- Abstract（参考訳）: 誤差境界は、コンパクトリーマン多様体上の不変測度 $d\mu_\phi \propto e^{-\phi} \mathrm{dvol}_g $ で本質的に定義されたランゲヴィン拡散の離散化を用いてサンプリングと推定のために導出される。
離散化されたマルコフ過程に基づく$\mu_\phi $の線形汎関数の2つの推定器は、単一の軌跡に基づく時間分解推定器と、複数の独立軌跡に基づくアンサンブル吸収推定器である。
離散化ステップサイズにおける$\phi$, first-order error bounds の平滑性という名目上のレベル以上の制限を課すことなく、両方の推定子のバイアスと分散を導出する。
誤差の順序はユークリッド空間と平坦空間の最適速度と一致し、不変測度 $\mu_\phi$ と離散化されたマルコフ過程の定常測度の間の距離上の一階境界につながる。
2つの偏微分方程式とランジュバン拡散に対応する作用素の半群との関係を利用した証明技術の一般性は、ランジュバン拡散に関連するより一般的なサンプリングアルゴリズムの研究に役立てることができる。
非コンパクト多様体の場合への解析の拡張条件について述べる。
正曲率と負曲率の多様体上の分布、対コンケーブ、その他の数値的挿絵は導出境界上で解明され、サンプリングアルゴリズムの実用的有用性を示す。
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