論文の概要: Sampling and estimation on manifolds using the Langevin diffusion
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2312.14882v2
- Date: Sat, 15 Jun 2024 15:53:52 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-06-19 07:14:24.112368
- Title: Sampling and estimation on manifolds using the Langevin diffusion
- Title（参考訳）: ランジュバン拡散を用いた多様体上のサンプリングと推定
- Authors: Karthik Bharath, Alexander Lewis, Akash Sharma, Michael V Tretyakov,
- Abstract要約: 離散化マルコフ過程に基づく$mu_phi $の線形汎函数の2つの推定器を検討する。
誤差境界は、本質的に定義されたランゲヴィン拡散の離散化を用いてサンプリングと推定のために導出される。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 45.57801520690309
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Error bounds are derived for sampling and estimation using a discretization of an intrinsically defined Langevin diffusion with invariant measure $\text{d}\mu_\phi \propto e^{-\phi} \mathrm{dvol}_g $ on a compact Riemannian manifold. Two estimators of linear functionals of $\mu_\phi $ based on the discretized Markov process are considered: a time-averaging estimator based on a single trajectory and an ensemble-averaging estimator based on multiple independent trajectories. Imposing no restrictions beyond a nominal level of smoothness on $\phi$, first-order error bounds, in discretization step size, on the bias and variance/mean-square error of both estimators are derived. The order of error matches the optimal rate in Euclidean and flat spaces, and leads to a first-order bound on distance between the invariant measure $\mu_\phi$ and a stationary measure of the discretized Markov process. This order is preserved even upon using retractions when exponential maps are unavailable in closed form, thus enhancing practicality of the proposed algorithms. Generality of the proof techniques, which exploit links between two partial differential equations and the semigroup of operators corresponding to the Langevin diffusion, renders them amenable for the study of a more general class of sampling algorithms related to the Langevin diffusion. Conditions for extending analysis to the case of non-compact manifolds are discussed. Numerical illustrations with distributions, log-concave and otherwise, on the manifolds of positive and negative curvature elucidate on the derived bounds and demonstrate practical utility of the sampling algorithm.
- Abstract（参考訳）: 誤差境界は、コンパクトリーマン多様体上の不変測度 $\text{d}\mu_\phi \propto e^{-\phi} \mathrm{dvol}_g $ で本質的に定義されたランゲヴィン拡散の離散化を用いてサンプリングと推定のために導出される。
離散化されたマルコフ過程に基づく$\mu_\phi $の線形汎関数の2つの推定器は、単一の軌跡に基づく時間分解推定器と、複数の独立軌跡に基づくアンサンブル吸収推定器である。
差分化ステップサイズにおける$\phi$, 1次誤差境界上の名目的滑らかさ以上の制限は、両方の推定器のバイアスと分散/平均二乗誤差を導出する。
誤差の順序はユークリッド空間と平坦空間の最適速度と一致し、不変測度 $\mu_\phi$ と離散化されたマルコフ過程の定常測度の間の距離上の一階境界につながる。
この順序は指数写像がクローズドな形で利用できない場合にも取り除かれるため、提案アルゴリズムの実用性が向上する。
2つの偏微分方程式とランゲヴィン拡散に対応する作用素の半群の間のリンクを利用する証明技法の一般性は、ランゲヴィン拡散に関連するより一般的なサンプリングアルゴリズムの研究にそれらを適用可能である。
非コンパクト多様体の場合まで解析を拡張するための条件について論じる。
導出境界上の正および負の曲率の多様体上の分布、対数凹、その他の数値図解はサンプリングアルゴリズムの実用性を実証する。
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