論文の概要: Minimax Optimality of Score-based Diffusion Models: Beyond the Density Lower Bound Assumptions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2402.15602v2
- Date: Tue, 23 Jul 2024 15:00:52 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-07-24 22:53:21.604577
- Title: Minimax Optimality of Score-based Diffusion Models: Beyond the Density Lower Bound Assumptions
- Title（参考訳）: スコアベース拡散モデルのミニマックス最適性:密度下界推定を超えて
- Authors: Kaihong Zhang, Caitlyn H. Yin, Feng Liang, Jingbo Liu,
- Abstract要約: カーネルベースのスコア推定器は$widetildeOleft(n-1 t-fracd+22(tfracd2 vee 1)rightの最適平均二乗誤差を達成する
核を用いたスコア推定器は,拡散モデルで生成した試料の分布の総変動誤差に対して,極小ガウスの下での最大平均2乗誤差を$widetildeOleft(n-1/2 t-fracd4right)$上界で達成することを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 11.222970035173372
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study the asymptotic error of score-based diffusion model sampling in large-sample scenarios from a non-parametric statistics perspective. We show that a kernel-based score estimator achieves an optimal mean square error of $\widetilde{O}\left(n^{-1} t^{-\frac{d+2}{2}}(t^{\frac{d}{2}} \vee 1)\right)$ for the score function of $p_0*\mathcal{N}(0,t\boldsymbol{I}_d)$, where $n$ and $d$ represent the sample size and the dimension, $t$ is bounded above and below by polynomials of $n$, and $p_0$ is an arbitrary sub-Gaussian distribution. As a consequence, this yields an $\widetilde{O}\left(n^{-1/2} t^{-\frac{d}{4}}\right)$ upper bound for the total variation error of the distribution of the sample generated by the diffusion model under a mere sub-Gaussian assumption. If in addition, $p_0$ belongs to the nonparametric family of the $\beta$-Sobolev space with $\beta\le 2$, by adopting an early stopping strategy, we obtain that the diffusion model is nearly (up to log factors) minimax optimal. This removes the crucial lower bound assumption on $p_0$ in previous proofs of the minimax optimality of the diffusion model for nonparametric families.
- Abstract（参考訳）: 非パラメトリック統計の観点から,大規模シナリオにおけるスコアベース拡散モデルサンプリングの漸近誤差について検討した。
カーネルベースのスコア推定器が最適平均二乗誤差を$\widetilde{O}\left(n^{-1} t^{-\frac{d+2}{2}}(t^{\frac{d}{2}} \vee 1)\right)$ for the score function of $p_0*\mathcal{N}(0,t\boldsymbol{I}_d)$。
その結果、拡散モデルによって生成されたサンプルの分布の総変分誤差に対する$\widetilde{O}\left(n^{-1/2} t^{-\frac{d}{4}}\right)$上界が得られる。
さらに、$p_0$ が $\beta$-Sobolev 空間の非パラメトリック族に属し、$\beta\le 2$ が早期停止戦略を採用することにより、拡散モデルはほぼ(対数因子まで)最小値であることがわかる。
これにより、非パラメトリック族に対する拡散モデルのミニマックス最適性の以前の証明において、$p_0$に対する決定的な下界仮定が取り除かれる。
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