論文の概要: $L^1$ Estimation: On the Optimality of Linear Estimators

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2309.09129v4
• Date: Wed, 7 Aug 2024 01:24:39 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-08-08 18:23:43.550521
• Title: $L^1$ Estimation: On the Optimality of Linear Estimators
• Title（参考訳）: L^1$ 推定:線形推定器の最適性について
• Authors: Leighton P. Barnes, Alex Dytso, Jingbo Liu, H. Vincent Poor,
• Abstract要約: この研究は、条件中央値の線型性を誘導する$X$上の唯一の先行分布がガウス分布であることを示している。 特に、条件分布 $P_X|Y=y$ がすべての$y$に対して対称であるなら、$X$ はガウス分布に従う必要がある。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 64.76492306585168
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Consider the problem of estimating a random variable $X$ from noisy observations $Y = X+ Z$, where $Z$ is standard normal, under the $L^1$ fidelity criterion. It is well known that the optimal Bayesian estimator in this setting is the conditional median. This work shows that the only prior distribution on $X$ that induces linearity in the conditional median is Gaussian. Along the way, several other results are presented. In particular, it is demonstrated that if the conditional distribution $P_{X|Y=y}$ is symmetric for all $y$, then $X$ must follow a Gaussian distribution. Additionally, we consider other $L^p$ losses and observe the following phenomenon: for $p \in [1,2]$, Gaussian is the only prior distribution that induces a linear optimal Bayesian estimator, and for $p \in (2,\infty)$, infinitely many prior distributions on $X$ can induce linearity. Finally, extensions are provided to encompass noise models leading to conditional distributions from certain exponential families.
• Abstract（参考訳）: 雑音の観測から確率変数$X$を推定する問題を考えると、$Y = X+Z$, ここでは$Z$は標準正規であり、$L^1$フィデリティ基準の下でである。 この設定における最適ベイズ推定器が条件中央値であることはよく知られている。 この研究は、条件中央値の線型性を誘導する$X$上の唯一の先行分布がガウス分布であることを示している。 その過程で、他にもいくつかの結果が提示される。 特に、条件分布 $P_{X|Y=y}$ がすべての$y$に対して対称であるなら、$X$ はガウス分布に従わなければならない。 さらに、他の$L^p$の損失も考慮し、次の現象を観察する:$p \in [1,2]$の場合、ガウス分布は線型最適ベイズ推定器を誘導する唯一の先行分布であり、$p \in (2,\infty)$の場合、$X$上の無限に多くの先行分布は線型性を誘導することができる。 最後に、ある指数族からの条件分布につながるノイズモデルを含む拡張が提供される。

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