Fugu-MT 論文翻訳(概要): Solving the $KP$ problem with the Global Cartan Decomposition

論文の概要: Solving the $KP$ problem with the Global Cartan Decomposition

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2404.02358v1
Date: Tue, 2 Apr 2024 23:03:16 GMT
ステータス: 処理完了
システム内更新日: 2024-04-04 19:09:09.793709
Title: Solving the $KP$ problem with the Global Cartan Decomposition
Title（参考訳）: グローバルカルタン分解によるKP$問題の解決
Authors: Elija Perrier, Christopher S. Jackson,
Abstract要約: 本稿では,Frakp$ で $-iH(t) を制御したターゲット $-iX in [frakp,frakp] サブセット frakk$ の時間最適ユニタリを生成する新しい手法を提案する。 dTheta$の仮定は、変動的手法を用いて解析的に解ける時間最適ユニタリ制御問題と等価であることを示す。
参考スコア（独自算出の注目度）: 0.5524804393257919
License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Abstract: Geometric methods have useful application for solving problems in a range of quantum information disciplines, including the synthesis of time-optimal unitaries in quantum control. In particular, the use of Cartan decompositions to solve problems in optimal control, especially lambda systems, has given rise to a range of techniques for solving the so-called $KP$-problem, where target unitaries belong to a semi-simple Lie group manifold $G$ whose Lie algebra admits a $\mathfrak{g}=\mathfrak{k} \oplus \mathfrak{p}$ decomposition and time-optimal solutions are represented by subRiemannian geodesics synthesised via a distribution of generators in $\mathfrak{p}$. In this paper, we propose a new method utilising global Cartan decompositions $G=KAK$ of symmetric spaces $G/K$ for generating time-optimal unitaries for targets $-iX \in [\frak{p},\frak{p}] \subset \frak{k}$ with controls $-iH(t) \in \frak{p}$. Target unitaries are parametrised as $U=kac$ where $k,c \in K$ and $a = e^{i\Theta}$ with $\Theta \in \frak{a}$. We show that the assumption of $d\Theta=0$ equates to the corresponding time-optimal unitary control problem being able to be solved analytically using variational techniques. We identify how such control problems correspond to the holonomies of a compact globally Riemannian symmetric space, where local translations are generated by $\mathfrak{p}$ and local rotations are generated by $[\mathfrak{p},\mathfrak{p}]$.
Abstract（参考訳）: 幾何学的手法は、量子制御における時間最適ユニタリの合成を含む、様々な量子情報分野における問題の解決に有用である。特に、最適制御の問題を解くためにカルタン分解(特にラムダ系)を用いることで、ターゲットユニタリが半単純リー群多様体の$G$に属し、リー代数が$\mathfrak{g}=\mathfrak{k} \oplus \mathfrak{p}$分解を認め、時間最適解は$\mathfrak{p}$のジェネレータの分布を介して合成される部分リーマン幾何学によって表される。本稿では,大域カルタン分解を利用する新しい手法を提案する。対称空間の$G=KAK$は,目標に対する時間最適ユニタリを生成するために$G/K$で, $-iX \in [\frak{p},\frak{p}] \subset \frak{k}$は$-iH(t) \in \frak{p}$である。ターゲットユニタリは$U=kac$、$k,c \in K$、$a = e^{i\Theta}$、$\Theta \in \frak{a}$とパラメトリされる。 d\Theta=0$の仮定は、変分法を用いて解析的に解けるような、対応する時間最適ユニタリ制御問題と一致することを示す。そのような制御問題は、コンパクトな大域リーマン対称空間のホロノミーにどのように対応するかを特定し、そこで局所変換は$\mathfrak{p}$で、局所回転は$[\mathfrak{p},\mathfrak{p}]$で生成される。

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