論文の概要: A Fully Parameter-Free Second-Order Algorithm for Convex-Concave Minimax Problems with Optimal Iteration Complexity

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.03571v1
• Date: Thu, 4 Jul 2024 01:46:07 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-07-08 19:31:32.454410
• Title: A Fully Parameter-Free Second-Order Algorithm for Convex-Concave Minimax Problems with Optimal Iteration Complexity
• Title（参考訳）: 最適反復複素数をもつ凸凹最小値問題に対する完全パラメータフリー2次アルゴリズム
• Authors: Junlin Wang, Junnan Yang, Zi Xu,
• Abstract要約: 凸凹極小最適化問題の解法として,Lipschitz-free Cubal regularization (LF-CR)アルゴリズムを提案する。 また,この問題のパラメータを必要としない完全パラメータフリー立方正則化(FF-CR)アルゴリズムを提案する。 我々の知る限り、FF-CRアルゴリズムは凸凹極小最適化問題の解法として初めて完全にパラメータフリーな2次アルゴリズムである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.815239177328595
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In this paper, we study second-order algorithms for the convex-concave minimax problem, which has attracted much attention in many fields such as machine learning in recent years. We propose a Lipschitz-free cubic regularization (LF-CR) algorithm for solving the convex-concave minimax optimization problem without knowing the Lipschitz constant. It can be shown that the iteration complexity of the LF-CR algorithm to obtain an $\epsilon$-optimal solution with respect to the restricted primal-dual gap is upper bounded by $\mathcal{O}(\frac{\rho\|z^0-z^*\|^3}{\epsilon})^{\frac{2}{3}}$, where $z^0=(x^0,y^0)$ is a pair of initial points, $z^*=(x^*,y^*)$ is a pair of optimal solutions, and $\rho$ is the Lipschitz constant. We further propose a fully parameter-free cubic regularization (FF-CR) algorithm that does not require any parameters of the problem, including the Lipschitz constant and the upper bound of the distance from the initial point to the optimal solution. We also prove that the iteration complexity of the FF-CR algorithm to obtain an $\epsilon$-optimal solution with respect to the gradient norm is upper bounded by $\mathcal{O}(\frac{\rho\|z^0-z^*\|^2}{\epsilon})^{\frac{2}{3}}$. Numerical experiments show the efficiency of both algorithms. To the best of our knowledge, the proposed FF-CR algorithm is the first completely parameter-free second-order algorithm for solving convex-concave minimax optimization problems, and its iteration complexity is consistent with the optimal iteration complexity lower bound of existing second-order algorithms with parameters for solving convex-concave minimax problems.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,近年,機械学習など多くの分野において注目されている凸凹ミニマックス問題の2次アルゴリズムについて検討する。 リプシッツ定数を知らずに凸凹極小最適化問題を解くために,Lipschitz-free Cubal regularization (LF-CR)アルゴリズムを提案する。 制限された原始-双対ギャップに対する$\epsilon$-最適解を得るLF-CRアルゴリズムの反復複雑性は、$\mathcal{O}(\frac {\rho\|z^0-z^*\|^3}{\epsilon})^{\frac{2}{3}}$, ここで$z^0=(x^0,y^0)$は初期点の対であり、$z^*=(x^*,y^*)$は最適解の対であり、$\rho$はリプシッツ定数である。 さらに、リプシッツ定数や初期点から最適解までの距離の上界を含む問題のパラメータを必要としない完全パラメータフリーな立方正則化(FF-CR)アルゴリズムを提案する。 また、勾配ノルムに対する$\epsilon$-optimal Solutionを得るためのFF-CRアルゴリズムの反復複雑性は、$\mathcal{O}(\frac{\rho\|z^0-z^*\|^2}{\epsilon})^{\frac{2}{3}}$で上界であることが証明される。 数値実験は、両方のアルゴリズムの効率を示す。 我々の知る限り、FF-CRアルゴリズムは、凸凹極小最適化問題を解くための最初の完全にパラメータフリーな2次アルゴリズムであり、その反復複雑性は、凸凹極小最適化問題を解くためのパラメータを持つ既存の2次アルゴリズムの下限の最適反復複雑性と一致している。

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