論文の概要: Green Multigrid Network

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.03593v1
• Date: Thu, 4 Jul 2024 03:02:10 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-07-08 19:31:32.366962
• Title: Green Multigrid Network
• Title（参考訳）: グリーンマルチグリッドネットワーク
• Authors: Ye Lin, Young Ju Lee, Jiwei Jia,
• Abstract要約: グリーンラーニングネットワーク(GL)は物理空間におけるグリーン関数を学習し、偏微分方程式(PDE)の未知解作用素を捉えるための解釈可能なモデルとなる 本論文では,グリーン関数の特異性を考慮した演算子学習アルゴリズムであるGreen Multigrid Network (GreenMGNet) を提案する。 先駆的なGLと比較すると、新しいフレームワークは精度と効率が向上し、大幅な改善を実現している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.397295511397678
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: GreenLearning networks (GL) directly learn Green's function in physical space, making them an interpretable model for capturing unknown solution operators of partial differential equations (PDEs). For many PDEs, the corresponding Green's function exhibits asymptotic smoothness. In this paper, we propose a framework named Green Multigrid networks (GreenMGNet), an operator learning algorithm designed for a class of asymptotically smooth Green's functions. Compared with the pioneering GL, the new framework presents itself with better accuracy and efficiency, thereby achieving a significant improvement. GreenMGNet is composed of two technical novelties. First, Green's function is modeled as a piecewise function to take into account its singular behavior in some parts of the hyperplane. Such piecewise function is then approximated by a neural network with augmented output(AugNN) so that it can capture singularity accurately. Second, the asymptotic smoothness property of Green's function is used to leverage the Multi-Level Multi-Integration (MLMI) algorithm for both the training and inference stages. Several test cases of operator learning are presented to demonstrate the accuracy and effectiveness of the proposed method. On average, GreenMGNet achieves $3.8\%$ to $39.15\%$ accuracy improvement. To match the accuracy level of GL, GreenMGNet requires only about $10\%$ of the full grid data, resulting in a $55.9\%$ and $92.5\%$ reduction in training time and GPU memory cost for one-dimensional test problems, and a $37.7\%$ and $62.5\%$ reduction for two-dimensional test problems.
• Abstract（参考訳）: グリーンラーニングネットワーク(GL)は、物理空間におけるグリーン関数を直接学習し、偏微分方程式(PDE)の未知解作用素を捉えるための解釈可能なモデルとなる。 多くのPDEに対して、対応するグリーン関数は漸近的滑らかさを示す。 本稿では,グリーン関数の漸近的スムーズなクラスのために設計された演算子学習アルゴリズムであるGreen Multigrid Network (GreenMGNet)を提案する。 先駆的なGLと比較すると、新しいフレームワークは精度と効率が向上し、大幅な改善を実現している。 GreenMGNetは2つの技術ノベルティで構成されている。 第一に、グリーン関数は超平面のいくつかの部分における特異な振る舞いを考慮に入れた断片的関数としてモデル化される。 このような関数は、拡張出力(AugNN)を持つニューラルネットワークによって近似され、特異点を正確に捉えることができる。 第二に、グリーン関数の漸近滑らか性は、学習段階と推論段階の両方にマルチレベル・マルチ・インテグレーション(MLMI)アルゴリズムを活用するために用いられる。 提案手法の精度と有効性を示すために,演算子学習のいくつかの試験事例を提示する。 平均して、GreenMGNetは$3.8\%から$39.15\%の精度向上を達成した。 GLの精度レベルに合わせるために、GreenMGNetは全グリッドデータの約10\%しか必要とせず、結果として1次元テスト問題に対するトレーニング時間とGPUメモリコストの削減が5,5.9\%と92.5\%、二次元テスト問題に対する37.7\%と62.5\%の削減が要求される。

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