論文の概要: Preconditioned Gradient Descent Finds Over-Parameterized Neural Networks with Sharp Generalization for Nonparametric Regression

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.11353v1
• Date: Tue, 16 Jul 2024 03:38:34 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-07-17 18:42:16.736783
• Title: Preconditioned Gradient Descent Finds Over-Parameterized Neural Networks with Sharp Generalization for Nonparametric Regression
• Title（参考訳）: 非パラメトリック回帰のためのシャープ一般化による過パラメータニューラルネットワークの事前条件付き勾配
• Authors: Yingzhen Yang,
• Abstract要約: 本稿では、勾配降下(GD)またはその変種により訓練された2層ニューラルネットワークによる非パラメトリック回帰を考察する。 ニューラルネットワークが早期停止を伴う新しいプレコンディション付きグラディエント・ディフレクション(PGD)でトレーニングされ、ターゲット関数がディープラーニング文献において広く研究されているスペクトルバイアスを持つ場合、トレーニングされたネットワークは、特に、極小値の最大速度が$cO(1/n4alpha/(4alpha+1)$で制限されたシャープな一般化をレンダリングする。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.130817534654089
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We consider nonparametric regression by an over-parameterized two-layer neural network trained by gradient descent (GD) or its variant in this paper. We show that, if the neural network is trained with a novel Preconditioned Gradient Descent (PGD) with early stopping and the target function has spectral bias widely studied in the deep learning literature, the trained network renders a particularly sharp generalization bound with a minimax optimal rate of $\cO({1}/{n^{4\alpha/(4\alpha+1)}})$, which is sharper the current standard rate of $\cO({1}/{n^{2\alpha/(2\alpha+1)}})$ with $2\alpha = d/(d-1)$ when the data is distributed uniformly on the unit sphere in $\RR^d$ and $n$ is the size of the training data. When the target function has no spectral bias, we prove that neural network trained with regular GD with early stopping still enjoys minimax optimal rate, and in this case our results do not require distributional assumptions in contrast with the current known results. Our results are built upon two significant technical contributions. First, uniform convergence to the NTK is established during the training process by PGD or GD, so that we can have a nice decomposition of the neural network function at any step of GD or PGD into a function in the RKHS and an error function with a small $L^{\infty}$-norm. Second, local Rademacher complexity is employed to tightly bound the Rademacher complexity of the function class comprising all the possible neural network functions obtained by GD or PGD. Our results also indicate that PGD can be another way of avoiding the usual linear regime of NTK and obtaining sharper generalization bound, because PGD induces a different kernel with lower kernel complexity during the training than the regular NTK induced by the network architecture trained by regular GD.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、勾配降下(GD)またはその変種により訓練された過パラメータ化された2層ニューラルネットワークによる非パラメトリック回帰を考察する。 ニューラルネットワークが早期停止と目標関数のスペクトルバイアスが深層学習文献で広く研究されている新しいプレコンディショニング勾配(PGD)でトレーニングされている場合、トレーニングされたネットワークは、特に、極小マックスの最適レートが$\cO({1}/{n^{4\alpha/(4\alpha+1)}})$、現在の標準レートが$\cO({1}/{n^{2\alpha/(2\alpha+1)}})$、$2\alpha = d/(d-1)$、$2\alphaが$\RR^d$で均一に分散され、$n$がトレーニングデータのサイズであることを示す。 対象関数にスペクトルバイアスがない場合、早期停止を伴う正規GDで訓練されたニューラルネットワークは、依然として極小の最適速度を享受していることを証明し、この場合、現在の既知の結果と対照的に分布仮定を必要としない。 私たちの結果は2つの重要な技術的貢献に基づいています。 第一に、NTKへの一様収束は、PGD または GD によるトレーニングプロセス中に確立され、GD または PGD の任意のステップにおいて、ニューラルネットワーク関数を RKHS の関数と、小さな$L^{\infty}$-norm の誤差関数に分解することができる。 第2に、局所ラデマチャー複雑性は、GDまたはPGDによって得られる全てのニューラルネットワーク機能からなる関数クラスのラデマチャー複雑性を強固に束縛するために使用される。 また、PGDは、通常のGDによってトレーニングされたネットワークアーキテクチャによって誘導される通常のNTKに比べて、トレーニング中にカーネルの複雑さが低い異なるカーネルを誘導するため、通常のNTKの線形構造を避け、よりシャープな一般化バウンダリを得る別の方法であることを示す。

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