論文の概要: Gradient descent with adaptive stepsize converges (nearly) linearly under fourth-order growth

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2409.19791v1
• Date: Sun, 29 Sep 2024 21:27:00 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-01 21:58:22.523059
• Title: Gradient descent with adaptive stepsize converges (nearly) linearly under fourth-order growth
• Title（参考訳）: 適応的な段差収束を伴う勾配降下は(ほぼ)4次成長の下で線形に収束する
• Authors: Damek Davis, Dmitriy Drusvyatskiy, Liwei Jiang,
• Abstract要約: 適応的な段差のある勾配降下は、任意の滑らかな関数に対して局所(ほぼ)線形速度で収束することを示す。 私たちが提案する適応的な段階化は、興味深い分解定理から生じる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.452887246184318
• License:
• Abstract: A prevalent belief among optimization specialists is that linear convergence of gradient descent is contingent on the function growing quadratically away from its minimizers. In this work, we argue that this belief is inaccurate. We show that gradient descent with an adaptive stepsize converges at a local (nearly) linear rate on any smooth function that merely exhibits fourth-order growth away from its minimizer. The adaptive stepsize we propose arises from an intriguing decomposition theorem: any such function admits a smooth manifold around the optimal solution -- which we call the ravine -- so that the function grows at least quadratically away from the ravine and has constant order growth along it. The ravine allows one to interlace many short gradient steps with a single long Polyak gradient step, which together ensure rapid convergence to the minimizer. We illustrate the theory and algorithm on the problems of matrix sensing and factorization and learning a single neuron in the overparameterized regime.
• Abstract（参考訳）: 最適化スペシャリストの間では、勾配降下の線型収束は、その最小化子から2次に成長する関数に付随するという考えが有力である。 この研究では、この信念は不正確であると主張する。 適応的な段差のある勾配降下は、その最小値から4階成長しか示さない任意の滑らかな関数に対して局所(ほぼ)線形速度で収束することを示す。 任意のそのような函数は最適解 (ravine) と呼ばれる最適解の周りの滑らかな多様体を許容するので、函数は谷から少なくとも2次に成長し、それに沿って一定の順序展開を持つ。 渓谷は、多くの短い勾配ステップを1つの長いポリアク勾配ステップでインターレースすることができ、これにより最小化器への急激な収束が保証される。 本稿では,行列検出と因子化の問題に関する理論とアルゴリズムについて解説し,パラメータ化状態における単一ニューロンの学習について述べる。

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