論文の概要: Directional Smoothness and Gradient Methods: Convergence and Adaptivity

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2403.04081v1
• Date: Wed, 6 Mar 2024 22:24:05 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-03-08 15:41:03.986371
• Title: Directional Smoothness and Gradient Methods: Convergence and Adaptivity
• Title（参考訳）: 方向の滑らかさと勾配法:収束性と適応性
• Authors: Aaron Mishkin, Ahmed Khaled, Yuanhao Wang, Aaron Defazio, and Robert M. Gower
• Abstract要約: 我々は、最適化の経路に沿った目的の条件付けに依存する勾配降下に対する新しい準最適境界を開発する。 我々の証明の鍵となるのは方向の滑らかさであり、これは、目的の上のバウンドを開発するために使用する勾配変動の尺度である。 我々は,方向の滑らかさの知識を使わずとも,ポリアクのステップサイズと正規化GDが高速で経路依存の速度を得ることを示した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 16.779513676120096
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We develop new sub-optimality bounds for gradient descent (GD) that depend on the conditioning of the objective along the path of optimization, rather than on global, worst-case constants. Key to our proofs is directional smoothness, a measure of gradient variation that we use to develop upper-bounds on the objective. Minimizing these upper-bounds requires solving implicit equations to obtain a sequence of strongly adapted step-sizes; we show that these equations are straightforward to solve for convex quadratics and lead to new guarantees for two classical step-sizes. For general functions, we prove that the Polyak step-size and normalized GD obtain fast, path-dependent rates despite using no knowledge of the directional smoothness. Experiments on logistic regression show our convergence guarantees are tighter than the classical theory based on L-smoothness.
• Abstract（参考訳）: 我々は,大域的,最悪の定数ではなく,最適化の経路に沿った目的の条件付けに依存する,勾配降下(GD)に対する新たな準最適境界を開発する。 我々の証明の鍵は方向の滑らかさであり、私たちが目的に上界を開発するのに使う勾配の変動の尺度である。 これらの上界を最小化するためには、強く適応されたステップサイズの列を得るために暗黙の方程式を解く必要がある。 一般関数に対して、ポリアクのステップサイズと正規化GDが、方向の滑らかさの知識を使わずに高速で経路依存の速度を得ることを示す。 ロジスティック回帰の実験は、我々の収束保証がL-滑らか性に基づく古典理論よりも厳密であることを示している。

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