論文の概要: Topology-Preserving Scaling in Data Augmentation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.19512v1
• Date: Fri, 29 Nov 2024 07:11:28 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-02 15:18:21.857099
• Title: Topology-Preserving Scaling in Data Augmentation
• Title（参考訳）: データ拡張におけるトポロジ保存スケーリング
• Authors: Vu-Anh Le, Mehmet Dik,
• Abstract要約: 本稿では,データ拡張パイプラインにおけるデータセット正規化のためのアルゴリズムフレームワークを提案する。 我々の貢献は、データ拡張パイプラインにおけるデータセット正規化のための厳密な数学的フレームワークを提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License:
• Abstract: We propose an algorithmic framework for dataset normalization in data augmentation pipelines that preserves topological stability under non-uniform scaling transformations. Given a finite metric space \( X \subset \mathbb{R}^n \) with Euclidean distance \( d_X \), we consider scaling transformations defined by scaling factors \( s_1, s_2, \ldots, s_n > 0 \). Specifically, we define a scaling function \( S \) that maps each point \( x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in X \) to \[ S(x) = (s_1 x_1, s_2 x_2, \ldots, s_n x_n). \] Our main result establishes that the bottleneck distance \( d_B(D, D_S) \) between the persistence diagrams \( D \) of \( X \) and \( D_S \) of \( S(X) \) satisfies: \[ d_B(D, D_S) \leq (s_{\max} - s_{\min}) \cdot \operatorname{diam}(X), \] where \( s_{\min} = \min_{1 \leq i \leq n} s_i \), \( s_{\max} = \max_{1 \leq i \leq n} s_i \), and \( \operatorname{diam}(X) \) is the diameter of \( X \). Based on this theoretical guarantee, we formulate an optimization problem to minimize the scaling variability \( \Delta_s = s_{\max} - s_{\min} \) under the constraint \( d_B(D, D_S) \leq \epsilon \), where \( \epsilon > 0 \) is a user-defined tolerance. We develop an algorithmic solution to this problem, ensuring that data augmentation via scaling transformations preserves essential topological features. We further extend our analysis to higher-dimensional homological features, alternative metrics such as the Wasserstein distance, and iterative or probabilistic scaling scenarios. Our contributions provide a rigorous mathematical framework for dataset normalization in data augmentation pipelines, ensuring that essential topological characteristics are maintained despite scaling transformations.
• Abstract（参考訳）: 非一様スケーリング変換の下でトポロジ的安定性を維持するデータ拡張パイプラインにおけるデータセット正規化のためのアルゴリズムフレームワークを提案する。 ユークリッド距離 \( d_X \) を持つ有限距離空間 \( X \subset \mathbb{R}^n \) が与えられたとき、スケーリング因子 \( s_1, s_2, \ldots, s_n > 0 \) によって定義されるスケーリング変換を考える。 具体的には、各点 \(x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in X \) を \[S(x) = (s_1 x_1, s_2 x_2, \ldots, s_n x_n) に写像するスケーリング関数 \(S \) を定義する。 s_{\min}) \cdot \operatorname{diam}(X), \] where \( s_{\min} = \min_{1 \leq i \leq n} s_i \, \( s_{\max} = \max_{1 \leq i \leq n} s_i \) and \( \name{diam}(X), \( s_{\max} = \max_{1 \leq i \leq n} s_i \)。 この理論的な保証に基づき、拡張変数 \( \Delta_s = s_{\max} - s_{\min} \) を制約 \( d_B(D, D_S) \leq \epsilon \) の下で最小化するために最適化問題を定式化する。 我々は,この問題のアルゴリズム的解法を開発し,スケーリング変換によるデータ拡張が重要なトポロジ的特徴を保存することを保証する。 さらに、我々は分析を高次元のホモロジー的特徴、ワッサーシュタイン距離などの代替指標、反復的または確率的スケーリングシナリオにまで拡張する。 我々の貢献は、データ拡張パイプラインにおけるデータセット正規化のための厳密な数学的枠組みを提供し、スケーリング変換にもかかわらず、重要なトポロジ的特性が維持されることを保証する。

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