論文の概要: Learning the Exact Time Integration Algorithm for Initial Value Problems by Randomized Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2502.10949v1
• Date: Sun, 16 Feb 2025 01:53:52 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-18 14:08:21.327080
• Title: Learning the Exact Time Integration Algorithm for Initial Value Problems by Randomized Neural Networks
• Title（参考訳）: ランダム化ニューラルネットワークによる初期値問題に対する実時間積分アルゴリズムの学習
• Authors: Suchuan Dong, Naxian Ni,
• Abstract要約: 本稿では、初期値問題(IVP)に対する正確な時間積分アルゴリズムを学習するために、極端学習機械(ELM)型ランダム化ニューラルネットワーク(NN)を利用する手法を提案する。 学習したNNアルゴリズムは、ニューラルネットワークの自由度が増大するにつれて、タイムマーチングエラーが指数関数的に減少し、長期間のシミュレーションで非常に正確な解を生成する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: We present a method leveraging extreme learning machine (ELM) type randomized neural networks (NNs) for learning the exact time integration algorithm for initial value problems (IVPs). The exact time integration algorithm for non-autonomous systems can be represented by an algorithmic function in higher dimensions, which satisfies an associated system of partial differential equations with corresponding boundary conditions. Our method learns the algorithmic function by solving this associated system using ELM with a physics informed approach. The trained ELM network serves as the learned algorithm and can be used to solve the IVP with arbitrary initial data or step sizes from some domain. When the right hand side of the non-autonomous system exhibits a periodicity with respect to any of its arguments, while the solution itself to the problem is not periodic, we show that the algorithmic function is either periodic, or when it is not, satisfies a well-defined relation for different periods. This property can greatly simplify the algorithm learning in many problems. We consider explicit and implicit NN formulations, leading to explicit or implicit time integration algorithms, and discuss how to train the ELM network by the nonlinear least squares method. Extensive numerical experiments with benchmark problems, including non-stiff, stiff and chaotic systems, show that the learned NN algorithm produces highly accurate solutions in long-time simulations, with its time-marching errors decreasing nearly exponentially with increasing degrees of freedom in the neural network. We compare extensively the computational performance (accuracy vs.~cost) between the current NN algorithm and the leading traditional time integration algorithms. The learned NN algorithm is computationally competitive, markedly outperforming the traditional algorithms in many problems.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、初期値問題(IVP)に対する正確な時間積分アルゴリズムを学習するために、極端学習機械(ELM)型ランダム化ニューラルネットワーク(NN)を利用する手法を提案する。 非自律系に対する正確な時間積分アルゴリズムは、高次元のアルゴリズム関数で表すことができ、これは対応する境界条件を持つ偏微分方程式の関連する系を満たす。 本手法は, 物理情報を用いたEMMを用いて, この関連システムを解くことにより, アルゴリズム関数を学習する。 トレーニングされたEMMネットワークは学習アルゴリズムとして機能し、任意の初期データやあるドメインからのステップサイズでIPPを解くのに使用できる。 非自明系の右辺がいずれかの引数に対して周期性を示すとき、その問題に対する解そのものが周期的でないとき、アルゴリズム関数が周期的であるか、あるいはそうでないとき、異なる周期について明確に定義された関係を満たすことを示す。 この性質は、多くの問題におけるアルゴリズム学習を大幅に単純化することができる。 我々は、明示的かつ暗黙的なNN定式化を考慮し、明示的あるいは暗黙的な時間積分アルゴリズムを導き、非線形最小二乗法によるEMMネットワークのトレーニング方法について議論する。 非剛性、剛性、カオスシステムを含むベンチマーク問題に対する大規模な数値実験により、学習されたNNアルゴリズムは、ニューラルネットワークの自由度が増大するにつれて、時間マーチングエラーがほぼ指数関数的に減少し、長期間のシミュレーションにおいて非常に正確な解を生成することが示された。 我々は、現在のNNアルゴリズムと従来の時間積分アルゴリズムの計算性能(精度対コスト)を広範囲に比較する。 学習したNNアルゴリズムは計算能力に優れており、多くの問題において従来のアルゴリズムよりも優れています。

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