論文の概要: Geometric Kolmogorov-Arnold Superposition Theorem

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2502.16664v1
• Date: Sun, 23 Feb 2025 17:47:33 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-25 15:53:14.736463
• Title: Geometric Kolmogorov-Arnold Superposition Theorem
• Title（参考訳）: Geometric Kolmogorov-Arnold Superposition Theorem
• Authors: Francesco Alesiani, Takashi Maruyama, Henrik Christiansen, Viktor Zaverkin,
• Abstract要約: コルモゴロフ・アルノルドネットワーク(KAN)は、コルモゴロフ・アルノルド理論(KAT)を実装するための訓練可能なモデルとして導入された。 我々は,KAT と Kan の新たな拡張法を提案し,$O(n)$グループアクションに等分散と不変性を導入し,物理的システムの正確かつ効率的なモデリングを可能にする。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.373581450684233
• License:
• Abstract: The Kolmogorov-Arnold Theorem (KAT), or more generally, the Kolmogorov Superposition Theorem (KST), establishes that any non-linear multivariate function can be exactly represented as a finite superposition of non-linear univariate functions. Unlike the universal approximation theorem, which provides only an approximate representation without guaranteeing a fixed network size, KST offers a theoretically exact decomposition. The Kolmogorov-Arnold Network (KAN) was introduced as a trainable model to implement KAT, and recent advancements have adapted KAN using concepts from modern neural networks. However, KAN struggles to effectively model physical systems that require inherent equivariance or invariance to $E(3)$ transformations, a key property for many scientific and engineering applications. In this work, we propose a novel extension of KAT and KAN to incorporate equivariance and invariance over $O(n)$ group actions, enabling accurate and efficient modeling of these systems. Our approach provides a unified approach that bridges the gap between mathematical theory and practical architectures for physical systems, expanding the applicability of KAN to a broader class of problems.
• Abstract（参考訳）: Kolmogorov-Arnold Theorem (KAT) あるいはより一般的には、KST (Kolmogorov Superposition Theorem) は、任意の非線型多変数函数が、正確には非線型単変数函数の有限重ね合わせとして表すことができることを証明している。 固定されたネットワークサイズを保証せずに近似表現のみを提供する普遍近似定理とは異なり、KSTは理論的に正確な分解を与える。 Kolmogorov-Arnold Network (KAN)は、KATを実装するためのトレーニング可能なモデルとして導入された。 しかし、カンは、多くの科学的・工学的応用にとって重要な性質である$E(3)$変換に固有の等値性や不変性を必要とする物理系を効果的にモデル化するのに苦労している。 そこで本研究では,KAT と Kan の新たな拡張法を提案し,$O(n)$群の作用に等分散と不変性を組み込むことにより,これらの系の高精度かつ効率的なモデリングを可能にする。 我々のアプローチは、数学的理論と物理系の実践的アーキテクチャのギャップを埋める統一的なアプローチを提供し、KANの適用性をより広範な問題に拡張する。

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