論文の概要: Smooth Integer Encoding via Integral Balance

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2505.02259v1
• Date: Mon, 28 Apr 2025 20:23:53 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-05-06 18:49:35.51538
• Title: Smooth Integer Encoding via Integral Balance
• Title（参考訳）: 積分バランスによる平滑整数符号化
• Authors: Stanislav Semenov,
• Abstract要約: 本研究では,スムーズな実数値関数を用いた符号化手法を提案する。 我々のアプローチは、滑らかな関数 f_N(t) の累積バランスを通して自然数全体の数 N を符号化する。 全積分 I(N) は、N が無限大の傾向にあるので 0 に収束し、整数は、近似の極小点として回復することができる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We introduce a novel method for encoding integers using smooth real-valued functions whose integral properties implicitly reflect discrete quantities. In contrast to classical representations, where the integer appears as an explicit parameter, our approach encodes the number N in the set of natural numbers through the cumulative balance of a smooth function f_N(t), constructed from localized Gaussian bumps with alternating and decaying coefficients. The total integral I(N) converges to zero as N tends to infinity, and the integer can be recovered as the minimal point of near-cancellation. This method enables continuous and differentiable representations of discrete states, supports recovery through spline-based or analytical inversion, and extends naturally to multidimensional tuples (N1, N2, ...). We analyze the structure and convergence of the encoding series, demonstrate numerical construction of the integral map I(N), and develop procedures for integer recovery via numerical inversion. The resulting framework opens a path toward embedding discrete logic within continuous optimization pipelines, machine learning architectures, and smooth symbolic computation.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,離散量を暗黙的に反映したスムーズな実数値関数を用いて,整数を符号化する新しい手法を提案する。 整数が明示的なパラメータとして現れる古典的表現とは対照的に、我々のアプローチは、滑らかな関数 f_N(t) の累積バランスを通じて自然数の集合の番号 N を符号化する。 全積分 I(N) は、N が無限大の傾向にあるので 0 に収束し、整数は、近似の極小点として回復することができる。 この方法は離散状態の連続的かつ微分可能な表現を可能にし、スプラインベースまたは解析的反転による回復をサポートし、自然に多次元タプル(N1, N2, ...)に拡張する。 符号化系列の構造と収束を解析し、積分写像 I(N) の数値構成を示し、数値反転による整数復元の手順を開発する。 その結果生まれたフレームワークは、継続的最適化パイプライン、機械学習アーキテクチャ、スムーズなシンボリック計算に個別のロジックを組み込むための道を開く。

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