論文の概要: Kernel Embeddings and the Separation of Measure Phenomenon

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2505.04613v2
• Date: Mon, 15 Sep 2025 09:35:15 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-16 15:23:16.111373
• Title: Kernel Embeddings and the Separation of Measure Phenomenon
• Title（参考訳）: カーネル埋め込みと測定現象の分離
• Authors: Leonardo V. Santoro, Kartik G. Waghmare, Victor M. Panaretos,
• Abstract要約: カーネルの共分散埋め込みは、異なる確率分布を情報論的に完全に分離することにつながることを証明している。 この現象は、埋め込みによって無限次元の祝福であり、効率的な推論ツールの設計を知らせる可能性がある。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We prove that kernel covariance embeddings lead to information-theoretically perfect separation of distinct probability distributions. In statistical terms, we establish that testing for the equality of two probability measures on a compact and separable metric space is equivalent to testing for the singularity between two centered Gaussian measures on a reproducing kernel Hilbert Space. The corresponding Gaussians are defined via the notion of kernel covariance embedding of a probability measure, and the Hilbert space is that generated by the embedding kernel. Distinguishing singular Gaussians is fundamentally simpler from an information-theoretic perspective than non-parametric two-sample testing, particularly in complex or high-dimensional domains. This is because singular Gaussians are supported on essentially separate and affine subspaces. Our proof leverages the classical Feldman-Hajek dichotomy, and shows that even a small perturbation of a distribution will be maximally magnified through its Gaussian embedding. This ``separation of measure phenomenon'' appears to be a blessing of infinite dimensionality, by means of embedding, with the potential to inform the design of efficient inference tools in considerable generality. The elicitation of this phenomenon also appears to crystallize, in a precise and simple mathematical statement, the outstanding empirical effectiveness of the so-called ``kernel trick".
• Abstract（参考訳）: カーネルの共分散埋め込みは、異なる確率分布を情報論的に完全に分離することにつながることを証明している。 統計的には、コンパクトかつ分離可能な距離空間上の2つの確率測度の等式に対する検定は、再生された核ヒルベルト空間上の2つの中心ガウス測度の特異性に対する検定と等価である。 対応するガウス空間は確率測度の核共分散埋め込みの概念によって定義され、ヒルベルト空間は埋め込みカーネルによって生成される。 特異ガウスの識別は、特に複素領域や高次元領域において、非パラメトリックな2サンプルテストよりも情報理論の観点から根本的に単純である。 これは、特異ガウス多様体が本質的に分離かつアフィン部分空間で支えられているためである。 我々の証明は古典的なフェルドマン・ハジェク二分法を利用しており、分布の小さな摂動でさえガウスの埋め込みによって最大で拡大されることを示している。 この「測度現象の分離」は、埋め込みによって無限次元の祝福であり、効率的な推論ツールの設計をかなりの一般性で通知する可能性がある。 この現象の誘発は、正確で単純な数学的ステートメントにおいて、いわゆる「カーネルトリック」の卓越した経験的効果を結晶化しているように見える。

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