論文の概要: How high is `high'? Rethinking the roles of dimensionality in topological data analysis and manifold learning
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2505.16879v1
- Date: Thu, 22 May 2025 16:34:15 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-05-23 17:12:48.458975
- Title: How high is `high'? Rethinking the roles of dimensionality in topological data analysis and manifold learning
- Title（参考訳）: ハイ」はどのくらい高いのか?トポロジカルデータ分析と多様体学習における次元の役割を再考する
- Authors: Hannah Sansford, Nick Whiteley, Patrick Rubin-Delanchy,
- Abstract要約: 我々は、一般化されたハンソン・ライトの不等式を示し、それをデータポイントクラウドの幾何学に関する新しい統計的知見を確立するために利用する。
ガードナーらによる格子細胞活動における等尺トロイダル構造の画期的な神経科学的な発見を再考する。
我々の発見は、この構造が実際に物理空間にあるという証拠を初めて明らかにし、格子状細胞活動が現実世界の幾何学的に忠実な表現を伝達していることを意味する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.397730500554047
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We present a generalised Hanson-Wright inequality and use it to establish new statistical insights into the geometry of data point-clouds. In the setting of a general random function model of data, we clarify the roles played by three notions of dimensionality: ambient intrinsic dimension $p_{\mathrm{int}}$, which measures total variability across orthogonal feature directions; correlation rank, which measures functional complexity across samples; and latent intrinsic dimension, which is the dimension of manifold structure hidden in data. Our analysis shows that in order for persistence diagrams to reveal latent homology and for manifold structure to emerge it is sufficient that $p_{\mathrm{int}}\gg \log n$, where $n$ is the sample size. Informed by these theoretical perspectives, we revisit the ground-breaking neuroscience discovery of toroidal structure in grid-cell activity made by Gardner et al. (Nature, 2022): our findings reveal, for the first time, evidence that this structure is in fact isometric to physical space, meaning that grid cell activity conveys a geometrically faithful representation of the real world.
- Abstract（参考訳）: 我々は、一般化されたハンソン・ライトの不等式を示し、それをデータポイントクラウドの幾何学に関する新しい統計的知見を確立するために利用する。
データの一般ランダム関数モデルの設定において, 空間内在性次元$p_{\mathrm{int}}$, 直交的特徴方向の総変動度, サンプル間の機能的複雑性を測る相関ランク, データ内に隠された多様体構造の次元である潜時内在性次元の3つの概念で表される役割を明らかにする。
解析により、永続図形が潜在ホモロジーを明らかにし、多様体構造が出現するためには、$p_{\mathrm{int}}\gg \log n$, ここで$n$は標本サイズである。
Gardnerらによるグリッド細胞活動におけるトロイダル構造(Nature, 2022)の基盤的な神経科学的な発見を再考した結果、この構造が実際に物理空間に等しく、格子細胞活動が現実世界の幾何学的に忠実な表現を伝達しているという証拠が初めて明らかになった。
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