論文の概要: Interleaving Logic and Counting

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.05219v1
• Date: Mon, 07 Jul 2025 17:30:29 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-07-08 15:46:35.538123
• Title: Interleaving Logic and Counting
• Title（参考訳）: 論理学のインターリービングとカウント
• Authors: Johan van Benthem, Thomas Icard,
• Abstract要約: 自然言語における量化子表現との推論は論理的特徴と算術的特徴を組み合わせたものである。 私たちのトピックは、共通言語で発生するスタイルの協調である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.71869130799784
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Reasoning with quantifier expressions in natural language combines logical and arithmetical features, transcending strict divides between qualitative and quantitative. Our topic is this cooperation of styles as it occurs in common linguistic usage and its extension into the broader practice of natural language plus "grassroots mathematics". We begin with a brief review of first-order logic with counting operators and cardinality comparisons. This system is known to be of high complexity, and drowns out finer aspects of the combination of logic and counting. We move to a small fragment that can represent numerical syllogisms and basic reasoning about comparative size: monadic first-order logic with counting. We provide normal forms that allow for axiomatization, determine which arithmetical notions can be defined on finite and on infinite models, and conversely, we discuss which logical notions can be defined out of purely arithmetical ones, and what sort of (non-)classical logics can be induced. Next, we investigate a series of strengthenings, again using normal form methods. The monadic second-order version is close, in a precise sense, to additive Presburger Arithmetic, while versions with the natural device of tuple counting take us to Diophantine equations, making the logic undecidable. We also define a system that combines basic modal logic over binary accessibility relations with counting, needed to formulate ubiquitous reasoning patterns such as the Pigeonhole Principle. We return to our starting point in natural language, confronting the architecture of our formal systems with linguistic quantifier vocabulary and syntax. We conclude with some general thoughts on yet further entanglements of logic and counting in formal systems, on rethinking the qualitative/quantitative divide, and on connecting our analysis to empirical findings in cognitive science.
• Abstract（参考訳）: 自然言語における量化子表現との推論は、論理的特徴と算術的特徴を結合し、定性的と量的の間の厳密な分割を超越する。 我々のトピックは、共通言語で発生するこのスタイルの協調であり、自然言語の広範な実践と「草の根数学」への拡張である。 まず、算術演算子と濃度比較を用いた一階述語論理の簡単なレビューから始める。 このシステムは複雑性が高いことが知られており、論理とカウントの組み合わせのより細かい側面を網羅している。 我々は、数値的シロジズムと比較サイズに関する基本的な推論を表現できる小さな断片へと移行する。 我々は公理化を許容する正規形式を提供し、どの算術的概念を有限および無限モデル上で定義できるかを決定し、逆に純粋に算術的概念からどの論理的概念を定義できるか、またどのような(非古典的な)論理を誘導できるかを議論する。 次に, 正規形状法を用いて, 一連の強化について検討する。 モナディック二階述語版は、正確には、加法プレズバーグ・アリトメティクスに近づき、タプルカウントの自然な装置を持つバージョンは、我々をディオファント方程式に導いてくれるので、論理は決定不可能である。 また、二項アクセシビリティ関係に対する基本的なモーダル論理と、ピジョンホール原理のようなユビキタスな推論パターンを定式化するために必要なカウントとを組み合わせるシステムも定義する。 自然言語の出発点に戻り、言語量化子語彙と構文で形式システムのアーキテクチャに直面する。 我々は,論理学のさらなる絡み合いと形式体系の数え上げ,質的/質的な分割の再考,そして認知科学における経験的発見と分析を結びつけることについて,いくつかの一般的な考えをもって結論付けた。

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