論文の概要: $k$-PCA for (non-squared) Euclidean Distances: Polynomial Time Approximation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.14631v1
• Date: Sat, 19 Jul 2025 14:00:50 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-07-22 20:51:31.977163
• Title: $k$-PCA for (non-squared) Euclidean Distances: Polynomial Time Approximation
• Title（参考訳）: ユークリッド距離に対する$k$-PCA:多項式時間近似
• Authors: Daniel Greenhut, Dan Feldman,
• Abstract要約: 整数 $kgeq1$ と集合 $P$ of $n$ points in $REALd$ が与えられたとき、古典近似 $k$-PCA は Affinemph$fty distance を近似する。 実世界のデータセットに関するオープンコードと実験結果も提供されている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 16.942733472657622
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: Given an integer $k\geq1$ and a set $P$ of $n$ points in $\REAL^d$, the classic $k$-PCA (Principle Component Analysis) approximates the affine \emph{$k$-subspace mean} of $P$, which is the $k$-dimensional affine linear subspace that minimizes its sum of squared Euclidean distances ($\ell_{2,2}$-norm) over the points of $P$, i.e., the mean of these distances. The \emph{$k$-subspace median} is the subspace that minimizes its sum of (non-squared) Euclidean distances ($\ell_{2,1}$-mixed norm), i.e., their median. The median subspace is usually more sparse and robust to noise/outliers than the mean, but also much harder to approximate since, unlike the $\ell_{z,z}$ (non-mixed) norms, it is non-convex for $k<d-1$. We provide the first polynomial-time deterministic algorithm whose both running time and approximation factor are not exponential in $k$. More precisely, the multiplicative approximation factor is $\sqrt{d}$, and the running time is polynomial in the size of the input. We expect that our technique would be useful for many other related problems, such as $\ell_{2,z}$ norm of distances for $z\not \in \br{1,2}$, e.g., $z=\infty$, and handling outliers/sparsity. Open code and experimental results on real-world datasets are also provided.
• Abstract（参考訳）: 整数 $k\geq1$ と a set $P$ of $n$ points in $\REAL^d$ が与えられたとき、古典的な $k$-PCA (Principle Component Analysis) は、$P$ の Affine \emph{$k$-subspace mean} を近似する。 emph{$k$-subspace median} は、(二乗でない)ユークリッド距離 (\ell_{2,1}$-mixed norm) の和を最小化する部分空間である。 中央部分空間は平均よりも疎く、ノイズ/外れ値に対して堅牢であるが、なぜなら$\ell_{z,z}$(非混合)ノルムとは異なり、$k<d-1$の非凸であるからである。 実行時間と近似係数の両方が指数関数的でない最初の多項式時間決定論的アルゴリズムを$k$で提供する。 より正確には、乗法近似係数は$\sqrt{d}$であり、実行時間は入力の大きさの多項式である。 例えば、$\ell_{2,z}$ norm of distances for $z\not \in \br{1,2}$, e g , $z=\infty$, and handle outliers/sparsityである。 実世界のデータセットに関するオープンコードと実験結果も提供されている。

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