論文の概要: Analysis of Fourier Neural Operators via Effective Field Theory

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.21833v1
• Date: Tue, 29 Jul 2025 14:10:46 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-07-30 17:08:56.455855
• Title: Analysis of Fourier Neural Operators via Effective Field Theory
• Title（参考訳）: 有効場理論によるフーリエニューラル演算子の解析
• Authors: Taeyoung Kim,
• Abstract要約: 無限次元関数空間におけるFNOの体系的実効場理論解析について述べる。 非線形活性化は、周波数入力をスペクトル乱れによって取り除かれる高周波モードに必然的に重複することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.7102697561186413
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Fourier Neural Operators (FNOs) have emerged as leading surrogates for high-dimensional partial-differential equations, yet their stability, generalization and frequency behavior lack a principled explanation. We present the first systematic effective-field-theory analysis of FNOs in an infinite-dimensional function space, deriving closed recursion relations for the layer kernel and four-point vertex and then examining three practically important settings-analytic activations, scale-invariant cases and architectures with residual connections. The theory shows that nonlinear activations inevitably couple frequency inputs to high-frequency modes that are otherwise discarded by spectral truncation, and experiments confirm this frequency transfer. For wide networks we obtain explicit criticality conditions on the weight-initialization ensemble that keep small input perturbations to have uniform scale across depth, and empirical tests validate these predictions. Taken together, our results quantify how nonlinearity enables neural operators to capture non-trivial features, supply criteria for hyper-parameter selection via criticality analysis, and explain why scale-invariant activations and residual connections enhance feature learning in FNOs.
• Abstract（参考訳）: フーリエニューラル作用素 (FNO) は高次元偏微分方程式の主サロゲートとして登場したが、その安定性、一般化、周波数挙動には原理的な説明が欠けている。 無限次元関数空間におけるFNOの最初の体系的実効場理論解析を行い、レイヤカーネルと4点頂点の閉再帰関係を導出し、3つの現実的に重要な設定分析活性化、スケール不変ケースおよび残差接続を持つアーキテクチャについて検討する。 この理論は、非線形アクティベーションが必然的に周波数入力をスペクトルの切り捨てによって取り除かれた高周波モードにカップリングすることを示し、実験によりこの周波数伝達が確認される。 広帯域ネットワークでは、小さな入力摂動を深さにわたって均一なスケールに維持する重み初期化アンサンブルの明確な臨界条件が得られ、実証実験によりこれらの予測が検証される。 その結果, 非線形性がニューラル演算子に非自明な特徴を捕捉し, 臨界分析によるハイパーパラメータ選択の供給基準を定量化し, スケール不変なアクティベーションと残差接続がFNOにおける特徴学習を促進する理由を説明した。

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