論文の概要: Automated discovery of finite volume schemes using Graph Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.19052v1
• Date: Tue, 26 Aug 2025 14:08:46 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-08-27 17:42:38.874186
• Title: Automated discovery of finite volume schemes using Graph Neural Networks
• Title（参考訳）: グラフニューラルネットワークを用いた有限体積スキームの自動発見
• Authors: Paul Garnier, Jonathan Viquerat, Elie Hachem,
• Abstract要約: グラフニューラルネットワーク(GNN)は,従来の役割を超えた目的を果たすことができる。 2ノードグラフのみからなるデータセット上で訓練されたGNNが1次有限体積スキームを外挿可能であることを示す。 シンボリック回帰を用いて、ネットワークは標準一階FVスキームの正確な解析的定式化を効果的に再検討することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.867517731896504
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Graph Neural Networks (GNNs) have deeply modified the landscape of numerical simulations by demonstrating strong capabilities in approximating solutions of physical systems. However, their ability to extrapolate beyond their training domain (\textit{e.g.} larger or structurally different graphs) remains uncertain. In this work, we establish that GNNs can serve purposes beyond their traditional role, and be exploited to generate numerical schemes, in conjunction with symbolic regression. First, we show numerically and theoretically that a GNN trained on a dataset consisting solely of two-node graphs can extrapolate a first-order Finite Volume (FV) scheme for the heat equation on out-of-distribution, unstructured meshes. Specifically, if a GNN achieves a loss $\varepsilon$ on such a dataset, it implements the FV scheme with an error of $\mathcal{O}(\varepsilon)$. Using symbolic regression, we show that the network effectively rediscovers the exact analytical formulation of the standard first-order FV scheme. We then extend this approach to an unsupervised context: the GNN recovers the first-order FV scheme using only a residual loss similar to Physics-Informed Neural Networks (PINNs) with no access to ground-truth data. Finally, we push the methodology further by considering higher-order schemes: we train (i) a 2-hop and (ii) a 2-layers GNN using the same PINN loss, that autonomously discover (i) a second-order correction term to the initial scheme using a 2-hop stencil, and (ii) the classic second-order midpoint scheme. These findings follows a recent paradigm in scientific computing: GNNs are not only strong approximators, but can be active contributors to the development of novel numerical methods.
• Abstract（参考訳）: グラフニューラルネットワーク(GNN)は、物理系の近似解の強い能力を示すことによって、数値シミュレーションの展望を深く変えてきた。 しかし、トレーニング領域を超えて外挿する能力(\textit{e g } より大きいか、構造的に異なるグラフ)はいまだに不明である。 本研究では,GNNが従来の役割を超越した目的を果たすことを確認し,シンボル回帰と合わせて数値的スキームを生成する。 まず、2ノードグラフのみからなるデータセット上で訓練されたGNNが、分布外非構造メッシュ上の熱方程式の1次有限体積(FV)スキームを外挿できることを数値的および理論的に示す。 具体的には、GNNがそのようなデータセットで損失$\varepsilon$を達成した場合、FVスキームを$\mathcal{O}(\varepsilon)$のエラーで実装する。 シンボリック回帰を用いて、ネットワークは標準一階FVスキームの正確な解析的定式化を効果的に再検討することを示す。 GNNは,物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)に類似した残留損失のみを用いて1次FVスキームを復元する。 最後に、高次スキームを考慮し、方法論をさらに推し進める:訓練する (一)二本足 二 同じPINN損失を自律的に発見する二層GNN i) 2ホップステンシルを用いた初期スキームの2次補正項及び (二)古典的な二階中点法。 GNNは強力な近似器であるだけでなく、新しい数値法の開発に積極的に貢献することができる。

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