論文の概要: Beyond Universal Approximation Theorems: Algorithmic Uniform Approximation by Neural Networks Trained with Noisy Data

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.00924v1
• Date: Sun, 31 Aug 2025 16:20:27 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-04 15:17:03.465381
• Title: Beyond Universal Approximation Theorems: Algorithmic Uniform Approximation by Neural Networks Trained with Noisy Data
• Title（参考訳）: 普遍近似理論を超えて:雑音データを用いたニューラルネットワークによるアルゴリズム的一様近似
• Authors: Anastasis Kratsios, Tin Sum Cheng, Daniel Roy,
• Abstract要約: 本稿では,N$ノイズ学習サンプルから一様近似器を構成するアーキテクチャ固有のランダム化学習アルゴリズムを提案する。 学習したニューラルネットワークは、古典的UATで想定される理想化されたノイズレスサンプリングの下で消滅する対数的要因を考慮し、最小限の最大(非ランダム)パラメータを実現する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.815892583089443
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: At its core, machine learning seeks to train models that reliably generalize beyond noisy observations; however, the theoretical vacuum in which state-of-the-art universal approximation theorems (UATs) operate isolates them from this goal, as they assume noiseless data and allow network parameters to be chosen freely, independent of algorithmic realism. This paper bridges that gap by introducing an architecture-specific randomized training algorithm that constructs a uniform approximator from $N$ noisy training samples on the $d$-dimensional cube $[0,1]^d$. Our trained neural networks attain the minimax-optimal quantity of \textit{trainable} (non-random) parameters, subject to logarithmic factors which vanish under the idealized noiseless sampling assumed in classical UATs. Additionally, our trained models replicate key behaviours of real-world neural networks, absent in standard UAT constructions, by: (1) exhibiting sub-linear parametric complexity when fine-tuning on structurally related and favourable out-of-distribution tasks, (2) exactly interpolating the training data, and (3) maintaining reasonable Lipschitz regularity (after the initial clustering attention layer). These properties bring state-of-the-art UATs closer to practical machine learning, shifting the central open question from algorithmic implementability with noisy samples to whether stochastic gradient descent can achieve comparable guarantees.
• Abstract（参考訳）: しかし、最先端の普遍近似定理(UAT)が作動する理論的真空は、ノイズのないデータを仮定し、ネットワークパラメータをアルゴリズムリアリズムとは独立して自由に選択できるようにするため、この目標からそれらを分離する。 本論文は,$d$次元立方体$[0,1]^d$上のN$雑音学習サンプルから一様近似器を構成するアーキテクチャ固有のランダム化学習アルゴリズムを導入することにより,このギャップを埋めるものである。 学習したニューラルネットワークは,古典的UATで想定される理想化ノイズレスサンプリングの下で消滅する対数的要因を考慮し,最小値のtextit{trainable}(非ランダム)パラメータを得ることができた。 さらに、トレーニングされたモデルは、(1)構造的に関連があり、好ましくないアウト・オブ・ディストリビューションタスクを微調整する際に、サブ線形パラメトリックな複雑さを示すこと、(2)トレーニングデータを正確に補間すること、(3)適切なリプシッツ規則性を維持すること、などによって、標準的なUAT構造にはない実世界のニューラルネットワークの重要な振る舞いを再現する。 これらの特性は、最先端のUATを実用的な機械学習に近づけ、中央のオープンな質問を、ノイズの多いサンプルによるアルゴリズム的な実装可能性から、確率的勾配降下が同等の保証を達成できるかどうかへとシフトさせる。

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