論文の概要: Linear Regression in p-adic metric spaces

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.00043v1
• Date: Sat, 27 Sep 2025 08:48:19 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-03 16:59:20.130302
• Title: Linear Regression in p-adic metric spaces
• Title（参考訳）: p進距離空間における線形回帰
• Authors: Gregory D. Baker, Scott McCallum, Dirk Pattinson,
• Abstract要約: p進距離空間における機械学習の理論的基礎を示す。 結果から,機械学習における階層的データ構造を適切に扱うためには,p進測度が基本であることが示唆された。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Many real-world machine learning problems involve inherently hierarchical data, yet traditional approaches rely on Euclidean metrics that fail to capture the discrete, branching nature of hierarchical relationships. We present a theoretical foundation for machine learning in p-adic metric spaces, which naturally respect hierarchical structure. Our main result proves that an n-dimensional plane minimizing the p-adic sum of distances to points in a dataset must pass through at least n + 1 of those points -- a striking contrast to Euclidean regression that highlights how p-adic metrics better align with the discrete nature of hierarchical data. As a corollary, a polynomial of degree n constructed to minimise the p-adic sum of residuals will pass through at least n + 1 points. As a further corollary, a polynomial of degree n approximating a higher degree polynomial at a finite number of points will yield a difference polynomial that has distinct rational roots. We demonstrate the practical significance of this result through two applications in natural language processing: analyzing hierarchical taxonomies and modeling grammatical morphology. These results suggest that p-adic metrics may be fundamental to properly handling hierarchical data structures in machine learning. In hierarchical data, interpolation between points often makes less sense than selecting actual observed points as representatives.
• Abstract（参考訳）: 多くの現実世界の機械学習問題は本質的に階層的なデータを含んでいるが、伝統的なアプローチはユークリッドのメトリクスに依存しており、階層的な関係の離散的で分岐的な性質を捉えていない。 我々は、自然に階層構造を尊重するp進距離空間における機械学習の理論的基礎を提示する。 我々の主な結果は、データセット内の点までの距離の p-進和を最小化する n-次元平面が、これらの点の少なくとも n + 1 を通過しなければならないことを証明している。 圏として、残基の p-進和を最小化する次数 n の多項式は、少なくとも n + 1 個の点を通る。 さらに、次数 n の多項式が有限個の点において高次多項式を近似すると、異なる有理根を持つ差分多項式が得られる。 自然言語処理における2つの応用として,階層型分類学の解析と文法形態学のモデル化を行った。 これらの結果から,機械学習における階層的データ構造を適切に扱うためには,p進測度が基本であることが示唆された。 階層的なデータでは、点間の補間は、実際に観測された点を代表として選択するよりも意味をなさないことが多い。

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