論文の概要: Möbius transforms and Shapley values for vector-valued functions on weighted directed acyclic multigraphs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.05786v2
• Date: Wed, 08 Oct 2025 12:55:31 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-09 14:21:18.203821
• Title: Möbius transforms and Shapley values for vector-valued functions on weighted directed acyclic multigraphs
• Title（参考訳）: 重み付き有向非巡回多グラフ上のベクトル値関数に対するメビウス変換とシェープリー値
• Authors: Patrick Forré, Abel Jansma,
• Abstract要約: 我々は、M"obius inversionとShapley値の概念を非巡回多重グラフとその重み付きバージョンに一般化する。 我々は値関数(ゲーム)を許容し、従ってそれらの M "obius transforms (synergy function) と Shapley value はグラフ重みを含む環上の加群である任意のアーベル群における値を持つ。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 13.61966594130545
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We generalize the concept of M\"obius inversion and Shapley values to directed acyclic multigraphs and weighted versions thereof. We further allow value functions (games) and thus their M\"obius transforms (synergy function) and Shapley values to have values in any abelian group that is a module over a ring that contains the graph weights, e.g. vector-valued functions. To achieve this and overcome the obstruction that the classical axioms (linearity, efficiency, null player, symmetry) are not strong enough to uniquely determine Shapley values in this more general setting, we analyze Shapley values from two novel points of view: 1) We introduce projection operators that allow us to interpret Shapley values as the recursive projection and re-attribution of higher-order synergies to lower-order ones; 2) we propose a strengthening of the null player axiom and a localized symmetry axiom, namely the weak elements and flat hierarchy axioms. The former allows us to remove coalitions with vanishing synergy while preserving the rest of the hierarchical structure. The latter treats player-coalition bonds uniformly in the corner case of hierarchically flat graphs. Together with linearity these axioms already imply a unique explicit formula for the Shapley values, as well as classical properties like efficiency, null player, symmetry, and novel ones like the projection property. This whole framework then specializes to finite inclusion algebras, lattices, partial orders and mereologies, and also recovers certain previously known cases as corner cases, and presents others from a new perspective. The admission of general weighted directed acyclic multigraph structured hierarchies and vector-valued functions and Shapley values opens up the possibility for new analytic tools and application areas, like machine learning, language processing, explainable artificial intelligence, and many more.
• Abstract（参考訳）: 我々は、M\"obius inversionとShapley値の概念を非巡回多重グラフとその重み付きバージョンに一般化する。 さらに、値関数(ゲーム)を許容し、従ってそれらの M\ ビウス変換(エネルギー関数)とシャプリー値は、グラフ重みを含む環上の加群である任意のアーベル群(例えばベクトル値関数)に値を持つ。 これを達成し、古典的公理(線型性、効率性、ヌルプレーヤ、対称性)が、このより一般的な設定でシェープリー値を一意に決定できるほど強くないという障害を克服するために、2つの新しい視点からシェープリー値を分析する。 1) 高次シナジーの帰納的射影および再帰的帰納的射影としてシェープリー値の解釈を可能にする射影作用素を導入する。 2) 零プレイヤー公理と局所対称性公理,すなわち弱い要素と平坦な階層公理の強化を提案する。 前者は、階層構造の残りの部分を保ちながら、消滅する相乗効果による連立関係を取り除くことができる。 後者は、階層的に平坦なグラフのコーナーケースにおいてプレイヤー結合を均一に扱う。 線型性とともに、これらの公理はシャプリー値や、効率性、ヌルプレーヤ、対称性、射影特性のような古典的な性質などの一意の明示的な公式を既に示している。 このフレームワーク全体は、有限包含代数、格子、部分順序およびメレオロジーに特化し、以前に知られていた特定のケースをコーナーケースとして復元し、新しい視点から他のケースを提示する。 一般化重み付き非巡回多グラフ構造階層とベクトル値関数とシェープ値の入力は、機械学習、言語処理、説明可能な人工知能など、新しい分析ツールや応用分野の可能性を開く。

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