論文の概要: $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$: A Non-Relativizing Proof via Quantale Weakness and Geometric Complexity

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.08814v1
• Date: Thu, 09 Oct 2025 21:01:17 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-14 00:38:47.794552
• Title: $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$: A Non-Relativizing Proof via Quantale Weakness and Geometric Complexity
• Title（参考訳）: $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$: 量子弱さと幾何学的複雑さによる非相対性証明
• Authors: Ben Goertzel,
• Abstract要約: We work in the weak Quantale $w_Q=K_mathrmpoly(cdotmidcdot)$. ランダムな3ドルCNFをマスキングした効率よくサンプリング可能なアンサンブル$D_m$に対して、スイッチング・バイ・ウェイクネスの正規形式を証明する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We give a compositional, information-theoretic framework that turns short programs into locality on many independent blocks, and combine it with symmetry and sparsity of masked random Unique-SAT to obtain distributional lower bounds that contradict the self-reduction upper bound under $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$. We work in the weakness quantale $w_Q=K_{\mathrm{poly}}(\cdot\mid\cdot)$. For an efficiently samplable ensemble $D_m$ made by masking random $3$-CNFs with fresh $S_m\ltimes(\mathbb{Z}_2)^m$ symmetries and a small-seed Valiant--Vazirani isolation layer, we prove a Switching-by-Weakness normal form: for any polytime decoder $P$ of description length $\le \delta t$ (with $t=\Theta(m)$ blocks), a short wrapper $W$ makes $(P\circ W)$ per-bit local on a $\gamma$-fraction of blocks. Two ingredients then force near-randomness on $\Omega(t)$ blocks for every short decoder: (a) a sign-invariant neutrality lemma giving $\Pr[X_i=1\mid \mathcal{I}]=1/2$ for any sign-invariant view $\mathcal{I}$; and (b) a template sparsification theorem at logarithmic radius showing that any fixed local rule appears with probability $m^{-\Omega(1)}$. Combined with single-block bounds for tiny $\mathrm{ACC}^0$/streaming decoders, this yields a success bound $2^{-\Omega(t)}$ and, by Compression-from-Success, $K_{\mathrm{poly}}\big((X_1,\ldots,X_t)\mid(\Phi_1,\ldots,\Phi_t)\big)\ge \eta t$. If $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$, a uniform constant-length program maps any on-promise instance to its unique witness in polytime (bit fixing via a $\mathrm{USAT}$ decider), so $K_{\mathrm{poly}}(X\mid\Phi)\le O(1)$ and the tuple complexity is $O(1)$, contradicting the linear bound. The proof is non-relativizing and non-natural; symmetry, sparsification, and switching yield a quantale upper-lower clash, hence $\mathsf{P}\ne\mathsf{NP}$.
• Abstract（参考訳）: 我々は、短いプログラムを多くの独立ブロック上の局所性に変換する構成的情報理論の枠組みを与え、それをマスク付きランダムなUnique-SATの対称性とスパーシリティと組み合わせて、$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$の自己還元上界と矛盾する分布的下界を得る。 We work in the weak Quantale $w_Q=K_{\mathrm{poly}}(\cdot\mid\cdot)$. 効率よくサンプリング可能なアンサンブル$D_m$に対して、新しい$S_m\ltimes(\mathbb{Z}_2)^m$対称性と小さなValiant--Vazirani分離層をマスキングすることで、ランダムな$D_m$をマスキングする:任意のポリ時間デコーダ$P$記述長$\le \delta t$($t=\Theta(m)$ブロック)に対して、短いラッパー$W$は$(P\circ W)$をブロックの$\gamma$-fraction上でビット当たりのローカルにする。 2つの材料は、すべての短いデコーダに対して$\Omega(t)$ブロックにほぼランダムに強制する。 (a)任意の符号不変ビューに対して$\Pr[X_i=1\mid \mathcal{I}]=1/2$を与える符号不変中立性補題。 b) 対数半径におけるテンプレートスペーシフィケーション定理は、任意の固定された局所規則が確率 $m^{-\Omega(1)}$ で現れることを示すものである。 小さい$\mathrm{ACC}^0$/streaming decodersの単一ブロック境界と組み合わせると、$2^{-\Omega(t)}$とCompression-from-Success, $K_{\mathrm{poly}}\big((X_1,\ldots,X_t)\mid(\Phi_1,\ldots,\Phi_t)\big)\ge \eta t$が成立する。 仮に$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$の場合、一様定数長プログラムは任意のオンプロミスのインスタンスをポリタイムのユニークな目撃者($\mathrm{USAT}$ decider によるビット固定)にマップするので、$K_{\mathrm{poly}}(X\mid\Phi)\le O(1)$ で、タプルの複雑さは$O(1)$であり、線形境界と矛盾する。 この証明は非相対性理論であり、非自然であり、対称性、スペーサー化、スイッチングは量子上のより低い衝突をもたらすので、$\mathsf{P}\ne\mathsf{NP}$である。

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