論文の概要: Mean-square and linear convergence of a stochastic proximal point algorithm in metric spaces of nonpositive curvature

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.10697v1
• Date: Sun, 12 Oct 2025 16:54:04 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-14 18:06:30.07285
• Title: Mean-square and linear convergence of a stochastic proximal point algorithm in metric spaces of nonpositive curvature
• Title（参考訳）: 非正曲率距離空間における確率的近点アルゴリズムの平均二乗および線形収束
• Authors: Nicholas Pischke,
• Abstract要約: 単調ベクトル場の平均の零点を近似する非線形(分離可能な)アダマール空間の一般設定において、近点アルゴリズムの変種を定義する。 摂動空間上の確率的独立仮定と分離性仮定とともに、その収束性を適切な強い単調性仮定の下で証明する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We define a stochastic variant of the proximal point algorithm in the general setting of nonlinear (separable) Hadamard spaces for approximating zeros of the mean of a stochastically perturbed monotone vector field and prove its convergence under a suitable strong monotonicity assumption, together with a probabilistic independence assumption and a separability assumption on the tangent spaces. As a particular case, our results transfer previous work by P. Bianchi on that method in Hilbert spaces for the first time to Hadamard manifolds. Moreover, our convergence proof is fully effective and allows for the construction of explicit rates of convergence for the iteration towards the (unique) solution both in mean and almost surely. These rates are moreover highly uniform, being independent of most data surrounding the iteration, space or distribution. In that generality, these rates are novel already in the context of Hilbert spaces. Linear nonasymptotic guarantees under additional second-moment conditions on the Yosida approximates and special cases of stochastic convex minimization are discussed.
• Abstract（参考訳）: 確率論的摂動単調ベクトル場の平均の零点を近似するための非線形(分離可能な)アダマール空間の一般設定において、近点アルゴリズムの確率的変種を定義し、確率的独立仮定と接空間上の分離性仮定とともに、その収束性を適切な強い単調性仮定の下で証明する。 特に、我々の結果は、ヒルベルト空間におけるその方法に関する P. Bianchi の以前の研究を、初めてアダマール多様体に転送する。 さらに、収束証明は完全に有効であり、(一意)解に対する反復に対する収束の明示的な速度を平均的かつほぼ確実に構築することができる。 これらのレートはより均一であり、イテレーション、空間または分布を取り巻くほとんどのデータとは独立である。 その一般性において、これらの速度はヒルベルト空間の文脈において既に新規である。 ヨシダ近似に対する2次モーメント条件の線形漸近保証と確率凸最小化の特別な場合について論じる。

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