論文の概要: Data-intrinsic approximation in metric spaces

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.13496v1
• Date: Wed, 15 Oct 2025 12:45:29 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-16 20:13:28.670051
• Title: Data-intrinsic approximation in metric spaces
• Title（参考訳）: 距離空間におけるデータ-内在近似
• Authors: Jürgen Dölz, Michael Multerer,
• Abstract要約: 有限距離空間間のサイト・ツー・バリューマップとして数学的に記述されたラベル付きデータサンプルの近似について考察する。 本稿では,その効率的な計算のためのアルゴリズムを提案し,ラベル付きデータに対するサンプルベース近似理論を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Analysis and processing of data is a vital part of our modern society and requires vast amounts of computational resources. To reduce the computational burden, compressing and approximating data has become a central topic. We consider the approximation of labeled data samples, mathematically described as site-to-value maps between finite metric spaces. Within this setting, we identify the discrete modulus of continuity as an effective data-intrinsic quantity to measure regularity of site-to-value maps without imposing further structural assumptions. We investigate the consistency of the discrete modulus of continuity in the infinite data limit and propose an algorithm for its efficient computation. Building on these results, we present a sample based approximation theory for labeled data. For data subject to statistical uncertainty we consider multilevel approximation spaces and a variant of the multilevel Monte Carlo method to compute statistical quantities of interest. Our considerations connect approximation theory for labeled data in metric spaces to the covering problem for (random) balls on the one hand and the efficient evaluation of the discrete modulus of continuity to combinatorial optimization on the other hand. We provide extensive numerical studies to illustrate the feasibility of the approach and to validate our theoretical results.
• Abstract（参考訳）: データの分析と処理は現代社会の重要な部分であり、膨大な量の計算資源を必要とする。 計算負担を軽減するため、データの圧縮と近似が中心となっている。 有限距離空間間のサイト・ツー・バリューマップとして数学的に記述されたラベル付きデータサンプルの近似について考察する。 この設定では、連続性の離散率を、より構造的な仮定を伴わずに、サイト・ツー・バリューマップの正則性を測定する効果的なデータ-本質的な量として識別する。 無限データ限界における離散的連続率の整合性について検討し,その効率的な計算法を提案する。 これらの結果に基づいて,ラベル付きデータに対するサンプルベース近似理論を提案する。 統計的不確実性を考慮したデータに対しては、多レベル近似空間と、統計量の統計量を計算するための多レベルモンテカルロ法の変種を考える。 我々は,距離空間におけるラベル付きデータの近似理論を,一方の(ランダム)球の被覆問題と結び付け,他方の組合せ最適化に対する連続性の離散係数の効率的な評価を行う。 提案手法の有効性を実証し, 理論的結果の検証を行うため, 広範囲にわたる数値的研究を行った。

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