論文の概要: Generalized Sobolev IPM for Graph-Based Measures

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.25591v1
• Date: Wed, 29 Oct 2025 14:59:26 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-30 15:50:45.776416
• Title: Generalized Sobolev IPM for Graph-Based Measures
• Title（参考訳）: グラフ対応のための一般化ソボレフIPM
• Authors: Tam Le, Truyen Nguyen, Hideitsu Hino, Kenji Fukumizu,
• Abstract要約: グラフ距離空間上の測度に対するソボレフIPM問題について検討し、ソボレフノルムで定義される単位球内に批判関数が配置されることを制約する。 本稿では, 凸関数を用いて不規則な幾何学的関係を捉えるEmphOrlicz幾何構造のレンズによるソボレフIPMの一般化を提案する。 この一般化は古典的なソボレフ IPM を特別な場合として包含し、従来の$Lp$構造を超える様々な幾何学的先行を調節する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 26.692344867327332
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: We study the Sobolev IPM problem for measures supported on a graph metric space, where critic function is constrained to lie within the unit ball defined by Sobolev norm. While Le et al. (2025) achieved scalable computation by relating Sobolev norm to weighted $L^p$-norm, the resulting framework remains intrinsically bound to $L^p$ geometric structure, limiting its ability to incorporate alternative structural priors beyond the $L^p$ geometry paradigm. To overcome this limitation, we propose to generalize Sobolev IPM through the lens of \emph{Orlicz geometric structure}, which employs convex functions to capture nuanced geometric relationships, building upon recent advances in optimal transport theory -- particularly Orlicz-Wasserstein (OW) and generalized Sobolev transport -- that have proven instrumental in advancing machine learning methodologies. This generalization encompasses classical Sobolev IPM as a special case while accommodating diverse geometric priors beyond traditional $L^p$ structure. It however brings up significant computational hurdles that compound those already inherent in Sobolev IPM. To address these challenges, we establish a novel theoretical connection between Orlicz-Sobolev norm and Musielak norm which facilitates a novel regularization for the generalized Sobolev IPM (GSI). By further exploiting the underlying graph structure, we show that GSI with Musielak regularization (GSI-M) reduces to a simple \emph{univariate optimization} problem, achieving remarkably computational efficiency. Empirically, GSI-M is several-order faster than the popular OW in computation, and demonstrates its practical advantages in comparing probability measures on a given graph for document classification and several tasks in topological data analysis.
• Abstract（参考訳）: グラフ距離空間上の測度に対するソボレフIPM問題について検討し、ソボレフノルムで定義される単位球内に批判関数が配置されることを制約する。 Le et al (2025) は、ソボレフノルムを重み付き $L^p$-norm に関連付けることでスケーラブルな計算を実現したが、結果として得られるフレームワークは本質的には$L^p$幾何学的構造に結びついており、$L^p$幾何学的パラダイムを超えた代替構造的先行構造を組み込む能力を制限している。 この制限を克服するために, ベクトル関数を用いて不規則な幾何学的関係を捉え, 最適輸送理論の最近の進歩、特にオルリッツ・ワッサーシュタイン(OW)と一般化されたソボレフ輸送を基礎として, 機械学習手法の進歩を実証したソボレフIPMの一般化を提案する。 この一般化は古典的なソボレフ IPM を特別な場合として包含し、従来の$L^p$ 構造を超えて様々な幾何学的先行を調節する。 しかし、これは既にソボレフIMMに固有のものを合成する重大な計算ハードルをもたらす。 これらの課題に対処するため、一般化されたソボレフIPM(GSI)の新たな正規化を促進するOrlicz-SobolevノルムとMusielakノルムとの新たな理論的関係を確立する。 基礎となるグラフ構造を更に活用することにより、ムシエラック正則化(GSI-M)を用いた GSI が単純な \emph{univariate optimization} 問題に還元され、計算効率が著しく向上することを示す。 実証的に、GSI-Mは一般的なOWよりも数次高速であり、文書分類のための与えられたグラフ上の確率測度と、位相データ解析におけるいくつかのタスクの比較において、実用上の利点を示す。

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