論文の概要: A Tale of Two Geometries: Adaptive Optimizers and Non-Euclidean Descent

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2511.20584v1
• Date: Tue, 25 Nov 2025 18:13:53 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-11-26 17:37:04.602782
• Title: A Tale of Two Geometries: Adaptive Optimizers and Non-Euclidean Descent
• Title（参考訳）: 2つのジオメトリの物語:適応的最適化と非ユークリッドの輝き
• Authors: Shuo Xie, Tianhao Wang, Beining Wu, Zhiyuan Li,
• Abstract要約: 適応適応適応は、電流への勾配のみを使用する場合、正規化された急降下(NSD)に還元される。 凸設定では、適応性はより強い適応性滑らか性条件で制御される。 適応的滑らかさはネステロフ凸設定による適応の加速を可能にすることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.958474356193427
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Adaptive optimizers can reduce to normalized steepest descent (NSD) when only adapting to the current gradient, suggesting a close connection between the two algorithmic families. A key distinction between their analyses, however, lies in the geometries, e.g., smoothness notions, they rely on. In the convex setting, adaptive optimizers are governed by a stronger adaptive smoothness condition, while NSD relies on the standard notion of smoothness. We extend the theory of adaptive smoothness to the nonconvex setting and show that it precisely characterizes the convergence of adaptive optimizers. Moreover, we establish that adaptive smoothness enables acceleration of adaptive optimizers with Nesterov momentum in the convex setting, a guarantee unattainable under standard smoothness for certain non-Euclidean geometry. We further develop an analogous comparison for stochastic optimization by introducing adaptive gradient variance, which parallels adaptive smoothness and leads to dimension-free convergence guarantees that cannot be achieved under standard gradient variance for certain non-Euclidean geometry.
• Abstract（参考訳）: アダプティブ・オプティマイザは、現在の勾配にのみ適応する場合、正規化された急勾配降下(NSD)に還元することができ、2つのアルゴリズムファミリ間の密接な接続を示唆している。 しかし、それらの解析との大きな違いは、例えば滑らかさの概念が依存するジオメトリーにあることである。 凸設定では、適応最適化器はより強い適応的滑らかさ条件で制御され、NSDは滑らかさの標準概念に依存している。 適応的滑らか性の理論を非凸設定に拡張し、適応最適化器の収束を正確に特徴づけることを示す。 さらに、適応的滑らか性は、凸設定におけるネステロフ運動量を持つ適応的最適化器の加速を可能にし、これは、ある非ユークリッド幾何学の標準滑らか性の下では達成できない保証である。 さらに、適応的勾配分散を導入し、適応的滑らかさを並列化し、ある非ユークリッド幾何学の標準勾配分散では達成できない次元自由収束保証をもたらすことによる確率的最適化の類似的な比較を開発する。

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