論文の概要: Variational analysis of determinantal varieties

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2511.22613v1
• Date: Thu, 27 Nov 2025 16:48:07 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-01 19:47:55.652679
• Title: Variational analysis of determinantal varieties
• Title（参考訳）: 行列多様体の変分解析
• Authors: Yan Yang, Bin Gao, Ya-xiang Yuan,
• Abstract要約: 我々は、一階および二階の接集合を様々なローランク集合に明示的な公式を導出する統一的な枠組みを開発する。 低ランク最適化のための最適条件を特徴付けるために,タンジェントセットを利用する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.902244235284229
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Determinantal varieties -- the sets of bounded-rank matrices or tensors -- have attracted growing interest in low-rank optimization. The tangent cone to low-rank sets is widely studied and underpins a range of geometric methods. The second-order geometry, which encodes curvature information, is more intricate. In this work, we develop a unified framework to derive explicit formulas for both first- and second-order tangent sets to various low-rank sets, including low-rank matrices, tensors, symmetric matrices, and positive semidefinite matrices. The framework also accommodates the intersection of a low-rank set and another set satisfying mild assumptions, thereby yielding a tangent intersection rule. Through the lens of tangent sets, we establish a necessary and sufficient condition under which a nonsmooth problem and its smooth parameterization share equivalent second-order stationary points. Moreover, we exploit tangent sets to characterize optimality conditions for low-rank optimization and prove that verifying second-order optimality is NP-hard. In a separate line of analysis, we investigate variational geometry of the graph of the normal cone to matrix varieties, deriving the explicit Bouligand tangent cone, Fréchet and Mordukhovich normal cones to the graph. These results are further applied to develop optimality conditions for low-rank bilevel programs.
• Abstract（参考訳）: 有界ランク行列やテンソルの集合である行列多様体は、低ランク最適化への関心が高まっている。 接円錐からローランク集合は広く研究され、様々な幾何学的手法の基盤となっている。 曲率情報をエンコードする二階幾何学はより複雑である。 本研究では,低ランク行列,テンソル,対称行列,正半定値行列など,一階接点集合と二階接点集合の明示的な公式を多種多様な低ランク集合に導出する統一的枠組みを開発する。 このフレームワークはまた、低階集合と穏やかな仮定を満たす他の集合の交叉を許容し、したがって接交叉規則を生成する。 接集合のレンズを通して、非滑らかな問題とその滑らかなパラメータ化が等価な2階定常点を共有する必要十分条件を確立する。 さらに、タンジェント集合を利用して、低ランク最適化のための最適条件を特徴づけ、二階最適性を検証することはNPハードであることを証明する。 解析の別系統において、正規錐のグラフの行列多様体への変分幾何学を考察し、明示的なボリガンド接錐、フレシェ、モルドゥホーヴィチ正規錐をグラフに導出する。 これらの結果は、低ランク2レベルプログラムの最適条件の開発にさらに応用される。

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