論文の概要: Probabilistic Foundations of Fuzzy Simplicial Sets for Nonlinear Dimensionality Reduction

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.03899v1
• Date: Wed, 03 Dec 2025 15:49:38 GMT
• ステータス: 情報取得中
• システム内更新日: 2025-12-04 11:54:57.392156
• Title: Probabilistic Foundations of Fuzzy Simplicial Sets for Nonlinear Dimensionality Reduction
• Title（参考訳）: 非線形次元減少のためのファジィ単純集合の確率論的基礎
• Authors: Janis Keck, Lukas Silvester Barth, Fatemeh, Fahimi, Parvaneh Joharinad, Jürgen Jost,
• Abstract要約: ファジィ単純集合は次元減少と多様体学習への関心の対象となっている。 ファジィsimplicial set を、simplicial set 上の確率測度の限界として説明する枠組みを導入する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.2536021123168055
• License:
• Abstract: Fuzzy simplicial sets have become an object of interest in dimensionality reduction and manifold learning, most prominently through their role in UMAP. However, their definition through tools from algebraic topology without a clear probabilistic interpretation detaches them from commonly used theoretical frameworks in those areas. In this work we introduce a framework that explains fuzzy simplicial sets as marginals of probability measures on simplicial sets. In particular, this perspective shows that the fuzzy weights of UMAP arise from a generative model that samples Vietoris-Rips filtrations at random scales, yielding cumulative distribution functions of pairwise distances. More generally, the framework connects fuzzy simplicial sets to probabilistic models on the face poset, clarifies the relation between Kullback-Leibler divergence and fuzzy cross-entropy in this setting, and recovers standard t-norms and t-conorms via Boolean operations on the underlying simplicial sets. We then show how new embedding methods may be derived from this framework and illustrate this on an example where we generalize UMAP using Čech filtrations with triplet sampling. In summary, this probabilistic viewpoint provides a unified probabilistic theoretical foundation for fuzzy simplicial sets, clarifies the role of UMAP within this framework, and enables the systematic derivation of new dimensionality reduction methods.
• Abstract（参考訳）: ファジィsimplicial set は次元の減少と多様体学習への関心の対象となり、特に UMAP におけるそれらの役割を通じて顕著である。 しかし、それらの定義は代数的トポロジからのツールを通じて明確な確率論的解釈なしに定義され、それらの領域でよく使われる理論的枠組みから切り離されている。 本研究では、ファジィな単集合を、単集合上の確率測度の限界として説明する枠組みを導入する。 特に、この視点は、UMAPのファジィウェイトは、ランダムスケールでヴィエトリス・リップス濾過をサンプリングし、ペア距離の累積分布関数を生成する生成モデルに由来することを示している。 より一般的に、このフレームワークはファジィ単体集合をファジィ確率モデルに結合し、この設定においてクルバック・リーバーの発散とファジィクロスエントロピーの関係を明確にし、基礎となる単体集合上のブール演算を通して標準のt-ノルムとt-コノルムを復元する。 次に,この枠組みから新たな埋め込み手法が導出されうることを示すとともに,三重項サンプリングを用いたエルチフィルタを用いてUMAPを一般化する例を示す。 要約すると、この確率論的視点はファジィ単純集合の統一的確率論的基礎を提供し、この枠組みにおける UMAP の役割を明確にし、新しい次元還元法の体系的導出を可能にする。

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