論文の概要: Constructive Approximation under Carleman's Condition, with Applications to Smoothed Analysis
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.04371v1
- Date: Thu, 04 Dec 2025 01:40:05 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-12-05 21:11:45.951903
- Title: Constructive Approximation under Carleman's Condition, with Applications to Smoothed Analysis
- Title（参考訳）: カールマン条件下における構成近似と平滑解析への応用
- Authors: Frederic Koehler, Beining Wu,
- Abstract要約: 複素解析により、基礎となるデンジョイ・カールマンのかなり厳密な類似性を開発する。
分布の一般クラス上の関数に対する近似理論の結果を$L2$に設定する。
別の応用として、Paley-Wiener級関数が$[-,]$にバンド化されることを示し、全ての厳密な部分指数分布に対する近似の超指数率を認める。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 13.02728413691724
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: A classical result of Carleman, based on the theory of quasianalytic functions, shows that polynomials are dense in $L^2(μ)$ for any $μ$ such that the moments $\int x^k dμ$ do not grow too rapidly as $k \to \infty$. In this work, we develop a fairly tight quantitative analogue of the underlying Denjoy-Carleman theorem via complex analysis, and show that this allows for nonasymptotic control of the rate of approximation by polynomials for any smooth function with polynomial growth at infinity. In many cases, this allows us to establish $L^2$ approximation-theoretic results for functions over general classes of distributions (e.g., multivariate sub-Gaussian or sub-exponential distributions) which were previously known only in special cases. As one application, we show that the Paley--Wiener class of functions bandlimited to $[-Ω,Ω]$ admits superexponential rates of approximation over all strictly sub-exponential distributions, which leads to a new characterization of the class. As another application, we solve an open problem recently posed by Chandrasekaran, Klivans, Kontonis, Meka and Stavropoulos on the smoothed analysis of learning, and also obtain quantitative improvements to their main results and applications.
- Abstract（参考訳）: カールマンの古典的な結果は、準解析関数の理論に基づいて、多項式が任意の$μ$に対して$L^2(μ)$で密度が高いことを示し、そのモーメント$\int x^k dμ$は$k \to \infty$ほど急速に成長しない。
本研究では、複素解析により基礎となるデンジョイ・カールマンの定理のかなり厳密な定量的類似性を開発し、これは無限大の多項式成長を持つ任意の滑らかな函数に対して多項式による近似の速度を漸近的に制御できることを示す。
多くの場合、これは以前特別な場合にのみ知られていた分布の一般類(例えば、多変量部分ガウス分布や部分指数分布)上の函数に対して$L^2$近似理論的な結果を確立することができる。
1つの応用として、Paley-Wiener級函数が$[-Ω,Ω]$に帯域制限されていることを示し、全ての厳密な部分指数分布に対する近似の超指数率を認め、クラスを新たに特徴づける。
別の応用として、Chandrasekaran, Klivans, Kontonis, Meka, Stavropoulos が最近提起した学習のスムーズな解析に関するオープンな問題を解くとともに、主要な結果と応用について定量的に改善する。
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