論文の概要: An Elementary Proof of the Near Optimality of LogSumExp Smoothing

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.10825v1
• Date: Thu, 11 Dec 2025 17:17:48 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-12 16:15:42.484199
• Title: An Elementary Proof of the Near Optimality of LogSumExp Smoothing
• Title（参考訳）: LogSumExp Smoothing の最適性に関する初等証明
• Authors: Thabo Samakhoana, Benjamin Grimmer,
• Abstract要約: 無限ノルムの$mathbbRd$における(座標的な)最大関数の滑らか化の設計を考える。 LogSumExp 関数 $f(x)=ln(sumd_iexp(x_i))$ は古典的な滑らか化を提供する。 我々は下界の基本的な構成を提供し、最大関数のすべての過大な滑らか化は、少なくとも$sim 0.8145ln(d)$で異なることを保証する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.15039745292757667
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We consider the design of smoothings of the (coordinate-wise) max function in $\mathbb{R}^d$ in the infinity norm. The LogSumExp function $f(x)=\ln(\sum^d_i\exp(x_i))$ provides a classical smoothing, differing from the max function in value by at most $\ln(d)$. We provide an elementary construction of a lower bound, establishing that every overestimating smoothing of the max function must differ by at least $\sim 0.8145\ln(d)$. Hence, LogSumExp is optimal up to constant factors. However, in small dimensions, we provide stronger, exactly optimal smoothings attaining our lower bound, showing that the entropy-based LogSumExp approach to smoothing is not exactly optimal.
• Abstract（参考訳）: 無限ノルムの$\mathbb{R}^d$における(座標的な)最大関数の滑らか化の設計を考える。 LogSumExp 関数 $f(x)=\ln(\sum^d_i\exp(x_i))$ は古典的な滑らか化を提供する。 我々は下界の基本的な構成を提供し、最大関数のすべての過大な滑らか化は、少なくとも$\sim 0.8145\ln(d)$で異なることを保証する。 したがって、LogSumExpは定数要素まで最適である。 しかし、小さな次元では、より強く、正確に最適な滑らか化を提供し、エントロピーに基づく滑らか化へのLogSumExpアプローチが必ずしも最適ではないことを示す。

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