論文の概要: Central Limit Theorem for ergodic averages of Markov chains \& the comparison of sampling algorithms for heavy-tailed distributions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.18255v1
• Date: Sat, 20 Dec 2025 07:37:55 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-23 18:54:32.257584
• Title: Central Limit Theorem for ergodic averages of Markov chains \& the comparison of sampling algorithms for heavy-tailed distributions
• Title（参考訳）: マルコフ連鎖のエルゴード平均に対する中心極限定理と重み付き分布に対するサンプリングアルゴリズムの比較
• Authors: Miha Brešar, Aleksandar Mijatović, Gareth Roberts,
• Abstract要約: 一般状態空間上のマルコフ連鎖のエルゴード平均の CLT に対する検証可能な必要条件を提供する。 我々の理論はドリフト条件に基づいており、これはまた様々な指標においてステーションへの収束率の低い境界をもたらす。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 42.17343824099138
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Establishing central limit theorems (CLTs) for ergodic averages of Markov chains is a fundamental problem in probability and its applications. Since the seminal work~\cite{MR834478}, a vast literature has emerged on the sufficient conditions for such CLTs. To counterbalance this, the present paper provides verifiable necessary conditions for CLTs of ergodic averages of Markov chains on general state spaces. Our theory is based on drift conditions, which also yield lower bounds on the rates of convergence to stationarity in various metrics. The validity of the ergodic CLT is of particular importance for sampling algorithms, where it underpins the error analysis of estimators in Bayesian statistics and machine learning. Although heavy-tailed sampling is of central importance in applications, the characterisation of the CLT and the convergence rates are theoretically poorly understood for almost all practically-used Markov chain Monte Carlo (MCMC) algorithms. In this setting our results provide sharp conditions on the validity of the ergodic CLT and establish convergence rates for large families of MCMC sampling algorithms for heavy-tailed targets. Our study includes a rather complete analyses for random walk Metropolis samplers (with finite- and infinite-variance proposals), Metropolis-adjusted and unadjusted Langevin algorithms and the stereographic projection sampler (as well as the independence sampler). By providing these sharp results via our practical drift conditions, our theory offers significant insights into the problems of algorithm selection and comparison for sampling heavy-tailed distributions (see short YouTube presentations~\cite{YouTube_talk} describing our \href{https://youtu.be/m2y7U4cEqy4}{\underline{theory}} and \href{https://youtu.be/w8I_oOweuko}{\underline{applications}}).
• Abstract（参考訳）: マルコフ連鎖のエルゴード平均に対する中心極限定理(CLT)を確立することは、確率とその応用における根本的な問題である。 The seminal work~\cite{MR834478}, has been seen on the enough conditions for such CLTs。 これに対抗するために,本論文では,一般状態空間上のマルコフ鎖のエルゴード平均のCLTについて検証可能な条件を提案する。 我々の理論はドリフト条件に基づいており、様々な測定値の収束率と定常性に低い境界をもたらす。 エルゴード CLT の有効性はサンプリングアルゴリズムにおいて特に重要であり、ベイズ統計学や機械学習における推定器の誤差解析の基盤となっている。 重尾サンプリングは応用において重要であるが、CLTの特徴付けと収束速度は理論上ほとんどすべてのマルコフ連鎖モンテカルロ (MCMC) アルゴリズムでは理解されていない。 この設定では, エルゴディックCLTの有効性の急激な条件が示され, 重み付け対象に対するMCMCサンプリングアルゴリズムの大群に対する収束率が確立された。 本研究は, ランダムウォーク・サンプルラー(有限および無限分散提案), メトロポリス調整・非調整ランゲヴィンアルゴリズム, 立体投影サンプリング・サンプルラー(および独立サンプリング)について, 比較的完全な解析を行った。 実際のドリフト条件を通じてこれらのシャープな結果を提供することで、アルゴリズムの選択と重み付き分布のサンプリングに関する比較に関する問題に対する重要な洞察を提供する(短いYouTubeプレゼンテーション~\cite{YouTube_talk}で、我々の \href{https://youtu.be/m2y7U4cEqy4}{\underline{theory}} と \href{https://youtu.be/w8I_oOweuko}{\underline{applications}} を記述)。

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