論文の概要: A Wachspress-based transfinite formulation for exactly enforcing Dirichlet boundary conditions on convex polygonal domains in physics-informed neural networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.01756v1
• Date: Mon, 05 Jan 2026 03:15:21 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-01-06 16:25:22.74907
• Title: A Wachspress-based transfinite formulation for exactly enforcing Dirichlet boundary conditions on convex polygonal domains in physics-informed neural networks
• Title（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワークにおける凸多角形領域上のディリクレ境界条件を正確に強制するためのワックスプレスに基づく超有限定式化
• Authors: N. Sukumar, Ritwick Roy,
• Abstract要約: 本稿では,ニューラルネットにおけるディリクレ境界条件の厳密な適用のために,凸多角形領域上のワックスプレスに基づく超有限定式化を提案する。 物理インフォームドニューラルネットワークとディープリッツの精度は、前方、逆、およびパラメータ化された幾何学的ポアソン境界値問題に基づいて評価される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In this paper, we present a Wachspress-based transfinite formulation on convex polygonal domains for exact enforcement of Dirichlet boundary conditions in physics-informed neural networks. This approach leverages prior advances in geometric design such as blending functions and transfinite interpolation over convex domains. For prescribed Dirichlet boundary function $\mathcal{B}$, the transfinite interpolant of $\mathcal{B}$, $g : \bar P \to C^0(\bar P)$, $\textit{lifts}$ functions from the boundary of a two-dimensional polygonal domain to its interior. The trial function is expressed as the difference between the neural network's output and the extension of its boundary restriction into the interior of the domain, with $g$ added to it. This ensures kinematic admissibility of the trial function in the deep Ritz method. Wachspress coordinates for an $n$-gon are used in the transfinite formula, which generalizes bilinear Coons transfinite interpolation on rectangles to convex polygons. The neural network trial function has a bounded Laplacian, thereby overcoming a limitation in a previous contribution where approximate distance functions were used to exactly enforce Dirichlet boundary conditions. For a point $\boldsymbol{x} \in \bar{P}$, Wachspress coordinates, $\boldsymbolλ : \bar P \to [0,1]^n$, serve as a geometric feature map for the neural network: $\boldsymbolλ$ encodes the boundary edges of the polygonal domain. This offers a framework for solving problems on parametrized convex geometries using neural networks. The accuracy of physics-informed neural networks and deep Ritz is assessed on forward, inverse, and parametrized geometric Poisson boundary-value problems.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、物理インフォームドニューラルネットワークにおけるディリクレ境界条件の厳密な適用のために、凸多角形領域上のワックスプレスに基づく超有限定式化を提案する。 このアプローチは、混合関数や凸領域上の超有限補間のような幾何設計の先進的な進歩を利用する。 所定のディリクレ境界関数 $\mathcal{B}$ に対して、$\mathcal{B}$, $g : \bar P \to C^0(\bar P)$, $\textit{lifts}$ は、2次元の多角形領域の境界から内部への無限補間である。 トライアル関数は、ニューラルネットワークの出力と境界制限のドメイン内部への拡張の違いとして表現され、$g$が加えられる。 これにより、ディープ・リッツ法におけるトライアル関数の運動的許容性が保証される。 n$-ゴンのワックスプレス座標は、直交多角形上の双線型コーンの半有限補間を凸多角形に一般化する超有限式で用いられる。 ニューラルネットワークトライアル関数は境界ラプラシアンを持ち、ディリクレ境界条件を正確に強制するために近似距離関数を用いた以前のコントリビューションの制限を克服する。 点 $\boldsymbol{x} \in \bar{P}$, Wachspress coordinates, $\boldsymbolλ : \bar P \to [0,1]^n$ は、ニューラルネットワークの幾何学的特徴写像として機能する。 これはニューラルネットワークを用いて、パラメトリゼーションされた凸ジオメトリの問題を解決するためのフレームワークを提供する。 物理インフォームドニューラルネットワークとディープリッツの精度は、前方、逆、およびパラメータ化された幾何学的ポアソン境界値問題に基づいて評価される。

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