論文の概要: Exact imposition of boundary conditions with distance functions in
physics-informed deep neural networks
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2104.08426v2
- Date: Sun, 7 Nov 2021 07:02:47 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-03 08:43:49.357375
- Title: Exact imposition of boundary conditions with distance functions in
physics-informed deep neural networks
- Title（参考訳）: 物理インフォームドディープニューラルネットワークにおける距離関数境界条件の厳密な適用
- Authors: N. Sukumar, Ankit Srivastava
- Abstract要約: 本稿では,偏微分方程式の深層学習におけるトレーニングを改善するために,人工ニューラルネットワークにおける幾何対応トライアル関数を提案する。
均質なディリクレ境界条件を正確に課すために、トライアル関数は、PINN近似により$phi$と乗算される。
アフィン境界と曲線境界を持つ領域上の線形および非線形境界値問題に対する数値解を提案する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.5804039129951741
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: In this paper, we introduce a new approach based on distance fields to
exactly impose boundary conditions in physics-informed deep neural networks.
The challenges in satisfying Dirichlet boundary conditions in meshfree and
particle methods are well-known. This issue is also pertinent in the
development of physics informed neural networks (PINN) for the solution of
partial differential equations. We introduce geometry-aware trial functions in
artifical neural networks to improve the training in deep learning for partial
differential equations. To this end, we use concepts from constructive solid
geometry (R-functions) and generalized barycentric coordinates (mean value
potential fields) to construct $\phi$, an approximate distance function to the
boundary of a domain. To exactly impose homogeneous Dirichlet boundary
conditions, the trial function is taken as $\phi$ multiplied by the PINN
approximation, and its generalization via transfinite interpolation is used to
a priori satisfy inhomogeneous Dirichlet (essential), Neumann (natural), and
Robin boundary conditions on complex geometries. In doing so, we eliminate
modeling error associated with the satisfaction of boundary conditions in a
collocation method and ensure that kinematic admissibility is met pointwise in
a Ritz method. We present numerical solutions for linear and nonlinear
boundary-value problems over domains with affine and curved boundaries.
Benchmark problems in 1D for linear elasticity, advection-diffusion, and beam
bending; and in 2D for the Poisson equation, biharmonic equation, and the
nonlinear Eikonal equation are considered. The approach extends to higher
dimensions, and we showcase its use by solving a Poisson problem with
homogeneous Dirichlet boundary conditions over the 4D hypercube. This study
provides a pathway for meshfree analysis to be conducted on the exact geometry
without domain discretization.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,物理インフォームドディープニューラルネットワークにおける境界条件を正確に課すための距離場に基づく新しいアプローチを提案する。
メッシュフリーおよび粒子法におけるディリクレ境界条件を満たす際の課題はよく知られている。
この問題は、偏微分方程式の解に対する物理情報ニューラルネットワーク(PINN)の開発にも関係している。
偏微分方程式の深層学習におけるトレーニングを改善するために,人工ニューラルネットワークにおける幾何認識試行関数を導入する。
この目的のために、構成的固体幾何(r-函数)と一般化されたバーリー中心座標(値ポテンシャル場)の概念を用いて、領域の境界への近似距離関数である$\phi$を構築する。
正確に均質なディリクレ境界条件を課すために、試行関数は、ピン近似によって乗算された$\phi$ とされ、超有限補間による一般化は、複素幾何学上の不等質ディリクレ(本質)、ノイマン(自然)、ロビン境界条件を満たす前駆体として用いられる。
そこで我々は,コロケーション法における境界条件の満足度に関連するモデリング誤差を排除し,リッツ法において運動学的許容度が適度に満たされることを保証する。
アフィン境界と曲線境界を持つ領域上の線形および非線形境界値問題に対する数値解を提案する。
線形弾性, 対流拡散, ビーム曲げに対する1次元のベンチマーク問題, ポアソン方程式, バイハーモニック方程式, 非線形アイコン方程式の2次元のベンチマーク問題を考える。
このアプローチはより高次元にまで拡張され、4次元ハイパーキューブ上の均質なディリクレ境界条件でポアソン問題を解くことでその利用を実証する。
本研究は、領域の離散化を伴わない正確な幾何学でメッシュフリー解析を行うための経路を提供する。
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