論文の概要: PCA of probability measures: Sparse and Dense sampling regimes

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2602.02190v1
• Date: Mon, 02 Feb 2026 14:56:58 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-02-03 19:28:34.232612
• Title: PCA of probability measures: Sparse and Dense sampling regimes
• Title（参考訳）: 確率測定のPCA:スパースとデンスサンプリング体制
• Authors: Gachon Erell, Jérémie Bigot, Elsa Cazelles,
• Abstract要約: 我々はPCAを$n$の確率測度がそれぞれ$m$のサンプルによって観測される二重体制で研究する。 経験的共分散作用素とPCA過剰リスクに対して$n-1/2 + m-$という形の収束率を導出する。 実験的な共分散誤差に対して, 密度レジメレートが極小であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.509780930114934
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: A common approach to perform PCA on probability measures is to embed them into a Hilbert space where standard functional PCA techniques apply. While convergence rates for estimating the embedding of a single measure from $m$ samples are well understood, the literature has not addressed the setting involving multiple measures. In this paper, we study PCA in a double asymptotic regime where $n$ probability measures are observed, each through $m$ samples. We derive convergence rates of the form $n^{-1/2} + m^{-α}$ for the empirical covariance operator and the PCA excess risk, where $α>0$ depends on the chosen embedding. This characterizes the relationship between the number $n$ of measures and the number $m$ of samples per measure, revealing a sparse (small $m$) to dense (large $m$) transition in the convergence behavior. Moreover, we prove that the dense-regime rate is minimax optimal for the empirical covariance error. Our numerical experiments validate these theoretical rates and demonstrate that appropriate subsampling preserves PCA accuracy while reducing computational cost.
• Abstract（参考訳）: 確率測度でPCAを実行するための一般的なアプローチは、標準的な機能的PCA技法が適用されるヒルベルト空間にそれらを埋め込むことである。 1つの測度を$m$サンプルから推定するための収束速度はよく理解されているが、文献は複数の測度を含む設定に対処していない。 本稿では,PCAを2重漸近系で研究し,それぞれ$m$サンプルを用いて,$n$の確率測度を観測する。 我々は、経験的共分散作用素とPCA過剰リスクに対して、$n^{-1/2} + m^{-α}$という形の収束率を導出する。 これは測度数$n$と測度毎のサンプル数$m$の関係を特徴づけ、収束挙動におけるスパース(小さい$m$)から密度(大きい$m$)への遷移を明らかにする。 さらに, 実験的共分散誤差に対して, 密度レジメレートが極小であることを示す。 数値実験により,PCAの精度を抑えつつ,計算コストの低減を図った。

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